Approfondimenti sulle serie numeriche

In quest’ultima parte troverai qualche approfondimento sulle serie numeriche. Aumenta quindi la difficoltà degli argomenti trattati, ma allo stesso tempo ti vengono presentati dei risultati di inaspettata bellezza. Il nostro consiglio è di seguirci fino in fondo per trovare le risposte ad alcune questioni che non abbiamo affrontato. Ad esempio: cosa succede se cambiamo l’ordine con cui i termini di una serie vengono sommati?

Appunti

L’ultima lezione è dedicata ad alcuni approfondimenti sulle serie numeriche. Si tratta di argomenti che non sempre vengono trattati nei corsi universitari che riguardano le serie numeriche, quindi potrebbero non interessarti direttamente.

Abbiamo però scelto di inserirli sia per ragioni di completezza, sia per il fatto che racchiudono alcune perle di grande valore matematico.

Ci occuperemo di capire cosa accade quando cambiamo l’ordine con cui i termini di una serie vengono sommati e introdurremo a questo scopo il concetto di convergenza incondizionata.

Vedremo come non sia possibile in generale applicare una proprietà associativa ad una serie numerica senza che ciò ne alteri il carattere.

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Prerequisiti per Approfondimenti sulle serie numeriche

I prerequisiti per questa lezione sono:

Serie permutate

La domanda cui cerchiamo di dare una risposta nelle righe che seguono è la seguente: è possibile in alcuni casi estendere alle serie numeriche una sorta di proprietà commutativa? Se sì, in quali casi?

Detto in maniera più rigorosa, se abbiamo a che fare con una serie di termine generale £$\{a_n\}$£, ossia £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n} = a_1+a_2+a_3+a_4+\dots +a_n+\dots$£, cosa succede se cambiamo l’ordine in cui i termini vengono sommati? Ad esempio se consideriamo una serie del tipo £$a_6+a_2+a_1+a_{79}+a_5+\dots$£ essa avrà lo stesso comportamento di quella di partenza?

Cerchiamo di scrivere in matematichese quello che intendiamo dire. Diamo quindi la seguente definizione:

Una permutazione di £$\mathbb{N}$£ è una qualsiasi applicazione biunivoca £$\sigma: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$£.

Ad esempio una permutazione di £$\mathbb{N}$£ può essere una funzione che associa i numeri naturali che hanno come ultima cifra 4 a quelli che terminano con un 7 e stanno nella stessa decina e viceversa! In tal caso si avrebbe ad esempio £$\sigma(87)=84$£ e £$\sigma(1234)=1237$£.

Se lavoriamo con una serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ e conosciamo una permutazione £$\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$£ allora ha senso chiedersi come si comporta, rispetto alla serie di partenza, la serie ottenuta permutandone i termini secondo la legge data da £$\sigma$£, ossia: £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_{\sigma(n)}}$£ Tale serie è detta serie permutata della serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£.

Se tutto funzionasse come nelle normali somme algebriche ci aspetteremmo che la serie permutata abbia lo stesso carattere della serie di partenza e la stessa somma in caso di convergenza. Tuttavia ci basta rispolverare una nostra vecchia conoscenza per renderci conto che le cose non vanno affatto così!

Ti ricorderai della serie di Grandi, ovvero £$\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^n}$£. Definiamo una permutazione £$\sigma$£ di £$\mathbb{N}\cup\{0\}$£ fatta in questo modo:

  • £$\sigma(0)=0$£
  • se £$n=5k$£ con £$k\in\mathbb{N}$£ (ovvero £$n$£ è multiplo di £$5$£), allora poniamo £$\sigma(n)=\sigma(5k)=2k-1$£. Quindi i multipli di 5 vengono mandati ordinatamente nei numeri dispari;
  • se £$n$£  NON è un multiplo di £$5$£ allora si pone £$\sigma(n)=2\cdot(n-\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor)$£, dove il simbolo £$\lfloor\bullet\rfloor$£ indica la parte intera (inferiore).

Abbiamo usato tante belle formulazioni per descrivere la seguente permutazione:

$$ {\sigma} : \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & \dots \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 1 & 10 & 12 & 14 & \dots \\ \end{matrix} $$

Dopo qualche breve conto ti apparirà chiaro che le somme parziali £$B_k$£ della serie permutata tramite £$\sigma$£ della serie di Grandi si scrivono

$$B_k=k-2\cdot\left\lfloor\frac{k}{5}\right\rfloor+1$$

Conseguentemente la serie permutata sarà divergente a £$+\infty$£, ossia assumerà un comportamento ben diverso da quello della serie di partenza, che era irregolare come ben sappiamo! Andrà sempre così male? La risposta è no, come scoprirai presto!

Proprietà associativa per le serie

Ci chiediamo se e quando associando i termini di una serie il carattere di quest’ultima venga alterato.

In realtà abbiamo già fatto qualche accenno a questo problema quando abbiamo parlato della Serie di Grandi. Avevamo visto che inserendo delle parentesi in modo diverso tra gli addendi della serie £$\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^n}$£ si poteva concludere, erroneamente, che tale serie convergesse contemporaneamente a £$0$£ e a £$1$£. In effetti ci siamo poi accorti che £$\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^n}$£ è una serie oscillante!

Questo ci porta ad una prima considerazione: se cerchiamo di applicare una specie di proprietà associativa alle serie irregolari, ne possiamo alterare il carattere.

Cosa succede per le serie regolari (ossia convergenti o divergenti)? In questo caso la situazione migliora notevolmente! Infatti associando arbitrariamente dei termini di una serie regolare non se ne altera il carattere. Ecco perché!

Supponiamo di lavorare con una serie regolare £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ e che £$\{n_k\}_{k=1}^{+\infty}$£ sia una successione strettamente monotòna crescente di numeri naturali tale che £$n_1=1$£. Definiamo ora la serie £$\sum_{k=1}^{+\infty}{b_k}$£ dove £$b_k=\sum_{j=n_{k}}^{n_{k+1}-1}{a_j}$£.

Sostanzialmente la nuova serie è ottenuta da quella vecchia associandone i termini in blocchi che vanno dal £$n_k-$£esimo al £$n_{k+1}-$£esimo escluso. Indichiamo con £$A_N=\sum_{n=1}^{N}{a_n}$£ le somme parziali della serie iniziale e con £$B_K=\sum_{k=1}^{K}{b_k}$£ le somme parziali della serie da essa ricavata.

Si osserva che: $$B_K=\sum_{k=1}^{K}{b_k}=\sum_{k=1}^{K}{\sum_{j=n_{k}}^{n_{k+1}-1}{a_j}}=\sum_{j=1}^{n_{K+1}-1}{a_j}=A_{n_{K+1}-1}$$ In definitiva la successione delle somme parziali £$\{B_k\}$£ è una sottosuccessione di £$\{A_N\}$£. Visto che £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ è regolare dovrà valere: $$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}=\lim_{N\to +\infty}{A_N}=\lim_{K\to +\infty}{B_K}=\sum_{k=1}^{+\infty}{b_k}$$ Quindi vale una sorta di proprietà associativa per le serie a patto che si tratti di serie regolari!