Carattere di una serie numerica e serie telescopiche

Come facciamo a capire se una serie è convergente, divergente o irregolare? Dobbiamo studiare il carattere di quella serie. Scopri come fare per individuare la somma di una serie numerica: definiremo ciò che si intende per convergenza di una serie.

Appunti

Per imparare a lavorare con le serie numeriche è necessario avere ben chiari i concetti legati alle successioni numeriche.

Scopri come riconoscere quando una serie numerica è convergente. Studia la serie di Mengoli e le serie telescopiche come esempi utili per calcolare le somme di altre serie numeriche.

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Prerequisiti per Carattere di una serie numerica e serie telescopiche

I prerequisiti per individuare il carattere di una serie numerica sono:

Serie convergenti, divergenti, irregolari

Dopo quanto appena visto, sembrerà abbastanza immediato immaginare quali possano essere le nozioni di convergenza e divergenza di una serie numerica!

Diremo infatti che:

  • una serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ converge ad un numero reale £$S\in\mathbb{R}$£ se £$ \lim_{k\to +\infty}{A_k}=S $£, ovvero se la successione delle somme parziali £$\{A_k\}$£ converge ad £$S$£;
  • una serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ diverge a £$+\infty$£ o a £$-\infty$£ se, rispettivamente, £$\lim_{k\to +\infty}{A_k}=+\infty$£ o £$\lim_{k\to +\infty}{A_k}=-\infty$£;
  • una serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ è irregolare o oscillante se £$\nexists\lim_{k\to +\infty}{A_k}$£

Tutto si basa quindi sul concetto di limite di una successione. In particolare, se una serie converge ad un valore £$S$£ o diverge a £$+\infty$£ (oppure a £$-\infty$£) si dice che la somma della serie è il numero £$S$£ o il “simbolo” £$+\infty$£ (oppure £$-\infty$£) e, in questo caso, si è soliti scrivere che vale rispettivamente: £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}=S$£ oppure £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}=+\infty$£ (oppure £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}=-\infty$£).

Questa volta il simbolo £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ viene (impropriamente) utilizzato per indicare quello che, in effetti, è un limite risultante da una somma di infiniti termini. Purtroppo i matematici hanno spesso la brutta abitudine di utilizzare la stessa notazione per indicare oggetti estremamente diversi.

Hai già visto come la serie di termine generale £$a_n=n$£ sia una serie divergente a £$+\infty$£.

Se hai letto la digressione storica iniziale conosci già la serie di Grandi, che ora possiamo interpretare come una serie di termine generale £$b_n=\left(-1\right)^{n}$£ per £$n=0,1,2,\dots$£. In questo caso avremo che le somme parziali £$k-$£esime saranno £$B_k=1$£ se £$k$£ è pari e £$B_k=0$£ se £$k$£ è dispari, quindi la successione delle somme parziali, ovvero la serie £$\sum_{n=0}^{+\infty}{\left(-1\right)^n}$£ è oscillante, come già avevamo preannunciato!

Concludiamo con un esempio di serie convergente, la cosiddetta serie di Mengoli. Si tratta della serie di termine generale £$c_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)}$£. Con un po’ di furbizia riusciamo a scrivere in maniera esplicita le somme parziali £$k-$£esime. Basta riscrivere il termine generale: £$c_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$£

Ricaviamo perciò che: £$C_k=\sum_{n=1}^{k}{c_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$£

Se ben ricordi come calcolare i limiti di successioni non avrai difficoltà ad ottenere che $$\lim_{k\to +\infty}{C_k}=\lim_{k\to +\infty}{1-\frac{1}{k+1}}=1$$ Quindi la serie di Mengoli è convergente con somma pari a £$ 1 $£, ovvero possiamo scrivere $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}=1$$

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Serie telescopiche

Il metodo che abbiamo utilizzato per studiare la serie di Mengoli funziona in realtà tutte le volte in cui ci troviamo di fronte alle cosiddette serie telescopiche. Ti presentiamo in generale il caso più semplice: supponiamo di dover affrontare una serie il cui termine generale si possa scrivere come £$a_n=\alpha_n-\alpha_{n+1}$£ per una qualche successione £$\{\alpha_n\}$£. Passando alle somme parziali £$k-$£esime si avrà:

£$ \displaystyle \sum_{n=1}^{k} a_n = \sum_{n=1}^{k} \left({\alpha_n-\alpha_{n+1}}\right) = $£

£$ \quad \quad \displaystyle = \sum_{n=1}^{k} \alpha_n - \sum_{n=1}^{k} \alpha_{n+1} = $£

£$ \quad \quad \displaystyle = \sum_{n=1}^{k} \alpha_n - \sum_{m=2}^{k+1} \alpha_{m} = $£

£$ \quad \quad \displaystyle = \alpha_1-\alpha_{k+1} $£

A questo punto potrai immaginare che verificare il comportamento della serie in questione e calcolarne l’eventuale somma sarà un per te un gioco da ragazzi: basta calcolare il limite della successione £$A_k=\alpha_1-\alpha_{k+1}$£ per £$k\to +\infty$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.