Convergenza assoluta

In questa lezione affronteremo la cosiddetta convergenza assoluta di una serie e alcune proprietà legate ad essa. Sposteremo infine la nostra attenzione sulle serie a termini positivi, che verranno affrontate in lungo e in largo nella prossima lezione!

Appunti

È molto più semplice lavorare con serie numeriche il cui termine generale non cambia segno (ad esempio è sempre positivo). Si spiega così la particolare attenzione che occorre prestare, data una serie di termine generale £$\{a_n\}$£, alla serie dei valori assoluti, ossia la serie di termine generale £$\{|a_n|\}$£.

Se tale serie converge si parlerà di convergenza assoluta della serie di partenza e vedremo che se una serie converge assolutamente allora essa converge secondo la nostra definizione! Ti sembra tutto ingarbugliato? La lezione che segue cercherà di risolvere tutti i tuoi dubbi!

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Prerequisiti per Convergenza assoluta di una serie

La convergenza assoluta

Ti presentiamo ora una seconda nozione di convergenza per una serie numerica: la convergenza assoluta. D’ora in poi chiameremo spesso convergenza semplice la convergenza di una serie secondo la definizione data nella prima lezione, proprio per distinguerla da questo secondo tipo di convergenza. Di cosa si tratta?

Consideriamo una serie numerica £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£. Diremo che converge assolutamente se vale che la serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{|a_n|}$£ è convergente.

La serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{|a_n|}$£ è detta serie dei valori assoluti.

Per quale motivo occorre definire questo nuovo concetto di convergenza? La ragione è duplice:

  • è molto più facile studiare una serie con termine generale non negativo, quindi prima di affrontare una serie si cerca di ricavare informazioni sulla sua serie dei valori assoluti;
  • la convergenza assoluta di una serie è condizione sufficiente per la convergenza semplice della serie stessa.

Ti diamo subito un’idea di come si dimostra quest’ultima affermazione.

Se una serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ converge assolutamente allora la sua serie dei valori assoluti soddisfa la condizione di Cauchy per le serie numeriche, ovvero vale che:

£$\forall\varepsilon >0\quad\exists N\in\mathbb{N}\ N=N(\varepsilon), $£ tale che £$ \forall p\geq N,\ \forall q\geq 0 $£ vale che £$ \left|\sum_{n=p}^{p+q}{|a_n|}\right |=\sum_{n=p}^{p+q}{|a_n|}<\varepsilon$£

Utilizziamo ora la disuguaglianza triangolare (£$|a+b|\leq |a|+|b|$£) per affermare che:

$$\left|\sum_{n=p}^{p+q}{a_n}\right |\leq\sum_{n=p}^{p+q}{|a_n|}<\varepsilon$$

Se rileggiamo il tutto abbiamo dimostrato che vale la condizione di Cauchy per le serie applicata alla serie di partenza, che pertanto deve convergere!

In definitiva:

$$\text{convergenza assoluta}\Rightarrow\text{convergenza semplice}$$

Quindi ad esempio la serie di termine generale £$a_n=\frac{-1}{n^2+n}$£ converge perché la sua serie dei valori assoluti è la serie di Mengoli, che sappiamo essere convergente!

Le serie a termini non negativi

Come ti sarai già accorto, lo studio di una serie numerica è principalmente finalizzato a valutarne la convergenza. Infatti è compito assai più arduo, in generale, cercare di calcolare la somma di una serie convergente.

Sorge quindi spontanea la necessità di trovare, quanto meno, dei criteri che ci possano assicurare la convergenza. Uno di essi l’abbiamo appena introdotto: la convergenza assoluta assicura la convergenza semplice.

Come vedremo nelle prossime lezioni, esiste un certo numero di criteri di convergenza e la maggior parte di essi si può applicare esclusivamente alle serie il cui termine generale sia non negativo. Cerchiamo dunque di familiarizzare con questa categoria “privilegiata” di serie numeriche.

Diremo che una serie numerica £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ è a termini non negativi se vale che £$a_n\geq 0 \ \forall n\in\mathbb{N}$£.

Facciamo subito una precisazione: tutto ciò che dimostreremo e diremo sulle serie a termini non negativi si può in realtà applicare senza alcun problema alle serie che sono anche solo definitivamente a termini non negativi, ossia tali che £$\exists N\in\mathbb{N}$£ tale che £$a_n\geq 0 \ \forall n\geq N$£.

Se ti trovi ad affrontare una serie a termini non positivi il consiglio è di lavorare con la rispettiva serie dei valori assoluti (ovvero cambiare il segno al termine generale) per poi tornare alla serie originale utilizzando il fatto che convergenza assoluta implica convergenza semplice!

Che cosa rende le serie a termini non negativi così speciali? La risposta è piuttosto semplice da dare: sia £$\{a_n\}$£ con £$a_n\geq 0$£ il termine generale di una serie. Apparirà evidente che se passiamo alle somme parziali avremo:

$$A_{k+1}=\sum_{n=1}^{k+1}{a_n}=\left(\sum_{n=1}^{k}{a_n}\right)+a_{k+1}=A_k+a_{k+1}\geq A_k$$

Tradotto: la successione delle somme parziali è monotòna non decrescente. E cosa sappiamo sulle successioni monotòne? Possono solo convergere o divergere! Segue così che una serie a termini non negativi potrà assumere due soli comportamenti:

  1. convergenza ad una somma finita;
  2. divergenza a £$+\infty$£.
In altre parole una serie a termini non negativi non potrà in nessun caso essere irregolare!

Nella prossima lezione ti renderai conto di come questa proprietà entri prepotentemente in gioco nella dimostrazione dei criteri di convergenza che vedremo.