Convergenza incondizionata e teorema di Riemann

Dopo aver scoperto le serie permutate nella lezione precedente, scopriamo se si può parlare di convergenza anche in questo caso. Scopri l'enunciato del teorema di Riemann.

Appunti

Quando una serie è incondizionatamente convergente? C'entrano qualcosa le sue serie permutate. Ripassa questo concetto nella lezione precedente e scopri il teorema di Riemann per le serie numeriche.

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Prerequisiti per Convergenza incondizionata e teorema di Riemann

I prerequisiti per la convergenza incondizionata e il teorema di Riemann sono:

Enunciato del teorema di Riemann

Come preannunciato vi sono delle serie convergenti che non cambiano il loro comportamento se subiscono una permutazione. Ha senso quindi dare la definizione seguente:

Una serie numerica si dice incondizionatamente convergente se essa e tutte le sue serie permutate convergono.

Esiste un risultato di raro fascino che va sotto il nome di teorema di Riemann e che permette di dare una caratterizzazione delle serie incondizionatamente convergenti. Eccone l’enunciato:

Sia £$\sum{a_n}$£ una serie numerica, allora:

  1. la serie £$\sum{a_n}$£ è incondizionatamente convergente se e solo se è assolutamente convergente. In tal caso tutte le serie permutate convergono alla stessa somma;
  2. se la serie £$\sum{a_n}$£ converge semplicemente ma NON assolutamente allora comunque siano dati £$\alpha$£ e £$\beta$£ con £$-\infty\leq\alpha\leq\beta\leq +\infty$£ esiste una permutazione £$\sigma$£ tale che$$\liminf_{k\to +\infty}{\sum_{n=1}^{k}{a_{\sigma(n)}}}=\alpha$$ e che$$\limsup_{k\to +\infty}{\sum_{n=1}^{k}{a_{\sigma(n)}}}=\beta$$

Grazie a questo teorema scopriamo alcuni fatti molto interessanti. Innanzitutto apprendiamo che se una serie converge incondizionatamente, non solo tutte le sue permutate convergono (come da definizione), ma convergono proprio alla stessa somma. Inoltre abbiamo un metodo semplice per sapere se una serie è incondizionatamente convergente: basta che sia assolutamente convergente. Insomma, se c’è convergenza assoluta va tutto bene: possiamo dire che vale una sorta di proprietà commutativa per le serie numeriche.

Forse però la parte più sconvolgente del teorema è la seconda: in caso di convergenza semplice ma non assoluta le cose vanno nel peggiore dei modi. Infatti in questi casi basta trovare la permutazione giusta dei termini della serie considerata per alterarne in maniera molto significativa il carattere! La si può far restare convergente ma farla convergere alla somma che si vuole, la si può far diventare oscillante con una classe limite scelta a priori! Le serie permutate di una serie che converge solo semplicemente possono assumere un comportamento qualsiasi!

Ad esempio sappiamo che la serie £$\sum_{n=1}^{+\infty} {\frac{(-1)^n}{n}}$£ converge semplicemente per il criterio di Leibniz, ma non converge assolutamente. Utilizzando dei metodi un po’ più avanzati si riesce anche a dire che: $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^n}{n}}= -\ln{(2)}$$

Il teorema di Riemann ci dice però che basta effettuare anche una banale permutazione di termini (ad esempio scambiando i pari con i dispari) per non avere più la minima idea sul comportamento della serie considerata!