Criteri del confronto per convergenza di serie

Consideriamo una serie numerica £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£. Per tutta questa lezione assumeremo che valga sempre (almeno definitivamente) che £$a_n\geq 0$£. Abbiamo visto che in queste ipotesi la successione delle somme parziali è non decrescente e che quindi la serie può solo convergere o divergere a £$+\infty$£. Ci possiamo ora dedicare a ricavare dei semplici criteri che ci suggeriscano il comportamento di una serie a partire dal comportamento di una serie nota!

Enunciamo subito il criterio del confronto per le serie!

Supponiamo di avere a che fare con due serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ e £$\sum_{n=1}^{+\infty}{b_n}$£ tali che £$\forall n$£ (o per lo meno definitivamente) valga che £$0\leq a_n\leq b_n$£. Allora:

1. se £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ diverge, allora anche £$\sum_{n=1}^{+\infty}{b_n}$£ diverge;
2. se £$\sum_{n=1}^{+\infty}{b_n}$£ converge, allora anche £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ converge (in generale ad una somma diversa);

La validità di questo risultato deriva direttamente dal criterio del confronto (o teorema dei carabinieri) che abbiamo visto nella parte sulle successioni. Basta applicarlo opportunamente alla successione delle somme parziali e il gioco è fatto!

Facciamo qualche esempio:

1. la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{\ln{(n+1)}\cdot 5^n}}$$ converge per il criterio del confronto. Infatti il suo termine generale £$a_n=\frac{1}{\ln{(n+1)}\cdot 5^n}$£ è non negativo. Inoltre vale che £$0\leq a_n\leq\frac{1}{5^n}$£ e sappiamo che la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{5^n}}$$
   converge perché è una serie geometrica di ragione £$\frac{1}{5}$£;
2. la serie $$\sum_{n=2}^{+\infty}{\frac{n+3}{n^2-1}}$$ diverge per il criterio del confronto. Infatti per £$n\geq 2$£ il suo termine generale è ben definito e positivo. Basta ora osservare che: $$\frac{n+3}{n^2-1}\geq\frac{n}{n^2-1}\geq \frac{1}{n}$$
   Siccome la serie armonica è divergente possiamo immediatamente concludere che $$\sum_{n=2}^{+\infty}{\frac{n+3}{n^2-1}}=+\infty$$

Come avrai intuito dagli esempi la strategia da usare è la seguente: cercare di ricondursi, tramite maggiorazioni o minorazioni, ad una serie di cui conosciamo il comportamento, per poi sfruttare il criterio del confronto!

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Passiamo ora ad una versione più agile del criterio del confronto appena visto e in cui entra in gioco la relazione di asintotico che abbiamo introdotto nel capitolo sulle successioni. Ti ricordiamo che due successioni £$\{a_n\}$£ e £$\{b_n\}$£ (con £$b_n\neq 0$£) si dicono asintotiche (e si scrive £$a_n\sim b_n$£) se vale che £$\lim_{n\to +\infty}{\frac{a_n}{b_n}}=1$£. Ecco il criterio del confronto asintotico!

Supponiamo di lavorare con due serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ e £$\sum_{n=1}^{+\infty}{b_n}$£ a termini (definitivamente) positivi e tali che £$a_n\sim b_n$£.
Allora le due serie considerate hanno lo stesso carattere (ovvero convergono entrambe oppure divergono entrambe).

Per dimostrare questo criterio basta osservare che la relazione di asintotico ci dice che definitivamente dovrà valere $$\frac{1}{2} b_n\leq a_n \leq \frac{3}{2} b_n$$

A questo punto si vede che chiaramente le due serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2} b_n}$£ e £$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{3}{2} b_n}$£ hanno lo stesso carattere della serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{b_n}$£. Occorre poi applicare il criterio del confronto appena visto per arrivare direttamente alla conclusione!

Ti facciamo notare che spesso (anche utilizzando i limiti notevoli) risulta facile ricavare una relazione di asintotico piuttosto che effettuare minorazioni e maggiorazioni per applicare il criterio del confronto. Anche qui ti facciamo qualche esempio:

1. la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}{1-\cos{\left(\frac{1}{n}\right)}}$$ converge per confronto asintotico. Infatti riguardando i limiti notevoli osserverai subito che $$1-\cos{\left(\frac{1}{n}\right)}=1-\left(1-\frac{1}{n^2}+\mathit{o}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\sim\frac{1}{n^2}\sim\frac{1}{n(n+1)}$$ Quindi il termine generale della nostra serie è asintotico a quello della serie di Mengoli, che è convergente come già sappiamo. Ne consegue che la nostra serie deve convergere;
2. la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}{(n+3)\cdot\tan{\left(\frac{1}{n^2}\right)}}$$ diverge per confronto asintotico. Basta notare che $$ (n+3)\cdot\tan{\left(\frac{1}{n^2}\right)\sim\frac{n+3}{n^2}\sim\frac{1}{n}}$$ e ricordarsi della divergenza della serie armonica.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.