Criterio di condensazione per serie a termini positivi

In questa lezione troverai l'ultimo dei principali criteri di convergenza per serie a termini non negativi: il criterio di condensazione.

Ora che abbiamo tutti questi strumenti, come possiamo scegliere quello giusto da utilizzare? Vedrai che presto ti sarà tutto chiaro!

Appunti

Ecco l'ultimo strumento per studiare la convergenza delle serie numeriche: si tratta di un risultato un po’ particolare e tuttavia utile che prende il nome di criterio di condensazione.

Ora hai tutte le armi a tua disposizione: scopri come scegliere lo strumento più adatto!

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Prerequisiti per Criterio di condensazione

Criterio di condensazione

Ti illustriamo brevemente l’ultimo criterio di convergenza che riguarda le serie a termini positivi: il criterio di condensazione. Si chiama così perché la sua applicazione coinvolge una serie ottenuta scegliendo solo alcuni termini di quella di partenza, ossa una serie “condensata”. Vediamo meglio di cosa si tratta.

Supponiamo di lavorare con una serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ tale che £$a_n>0$£ (solita richiesta). Ipotizziamo inoltre £$a_n\geq a_{n+1}$£, ovvero che il termine generale sia una successione non crescente (almeno definitivamente). Allora le due serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ e £$\sum_{n=0}^{+\infty}{2^n\cdot a_{2^n}}$£ hanno lo stesso carattere.

La serie £$\sum_{n=0}^{+\infty}{2^n\cdot a_{2^n}}$£ viene detta serie condensata di quella di partenza: si prendono solo i termini indicati con una potenza di £$2$£ per costruire una nuova serie di termine generale £$c_n =2^n\cdot a_{2^n}$£. L’idea è che sommando “meno” addendi “più grandi” il comportamento della serie non si modifichi qualitativamente.

Tralasciamo la dimostrazione (un po’ più complessa rispetto a quelle viste in precedenza) e cerchiamo di capire concretamente come funziona questo criterio!

Consideriamo la famiglia di serie di termine generale

£$a_n=\dfrac{1}{n^p}$£ con £$p\in\mathbb{R}$£

e ci chiediamo qual è il suo comportamento al variare del parametro £$p$£.

Sappiamo già qualcosa per quanto visto in precedenza:

  • se £$p=1$£ ritroviamo la serie armonica che diverge;
  • se £$p<1$£ la serie diverge per confronto con la serie armonica;
  • se £$p=2$£ la serie converge per confronto asintotico con la serie di Mengoli;
  • se £$p>2$£ la serie converge per confronto con il caso £$p=2$£ precedente;

Sostanzialmente ci rimane da capire che cosa succede se £$p\in (1,2)$£. Ci accorgiamo che in questo caso le ipotesi del criterio di condensazione sono tutte rispettate e che perciò possiamo provare ad applicarlo!

La serie condensata di quella di partenza sarà $$\sum_{n=0}^{+\infty}{2^n\cdot\frac{1}{\left(2^n\right)^p}}=\sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{1}{2^{n(p-1)}}}=\sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{1}{\left(2^{p-1}\right)^n}}$$

Quindi la serie condensata non è altro che una serie geometrica di ragione £$2^{1-t}$£ e quindi avremo:

  • se £$2^{1-p}<1$£, ossia £$p>1$£, la serie condensata converge;
  • se £$2^{1-p}\geq 1$£, ossia £$p\leq 1$£, la serie condensata diverge.

Applicando il criterio di condensazione (solo per il caso £$t\in (1,2)$£) unito a quanto sapevamo già, possiamo ricavare che la serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^p}}$$

  • converge se £$p>1$£;
  • diverge se £$p\leq 1$£.

Utilizzeremo questo importante risultato nella prossima lezione!

Ti chiedi quando il criterio di condensazione può tornare utile? Sicuramente si tratta di uno strumento che dà il suo meglio quando sono coinvolti rapporti di polinomi oppure logaritmi. Tuttavia è utilizzato raramente: si preferiscono altre tecniche quando è possibile, vista la loro più agile applicabilità.