Quando si dimostra che forse 0 = 1...

Facciamo un salto di qualche secolo e ci ritroviamo in piena età moderna. La matematica si è sviluppata parecchio dai tempi di Zenone, soprattutto per quello che riguarda la formalizzazione di alcuni concetti.

Nel 1703 il matematico italiano Guido Grandi si imbatté in una serie apparentemente innocua e che tuttavia fu motivo di grandi dibattiti tra i luminari dell’epoca (Leibniz in primis). Possiamo scrivere questa serie come:

$$ 1-1+1-1+1-1+1-1+ \dots $$

Oppure, con il linguaggio che presto imparerai ad usare, come:

$$ \sum_{n=0}^{+\infty}{\left(-1\right)^{n}} $$

Si tratta di sommare e sottrarre 1 alternativamente. Cerchiamo di capire se questa serie può avere una somma. Se potessimo applicare alle serie qualcosa di simile alla proprietà associativa potremmo ottenere che:

$$ 1-1+1-1+1-1+1+ \dots = $$ $$= 1 + (-1+1) +(-1+1) +(-1+1) + \dots = $$ $$ = 1+0+0+0+\dots =1 $$

Eppure, ragionando in maniera analoga, avremmo anche che:

$$ 1-1+1-1+1-1+ \dots = $$ $$ = (1-1)+ (1-1)+ (1-1)+\dots= $$ $$ =0+0+0+\dots=0$$

Quindi abbiamo dimostrato che £$0=1$£! Vi furono alcuni matematici che proposero come compromesso che la somma dovesse valere £$\frac 12 $£.

Evidentemente ci deve essere qualcosa che non funziona nel ragionamento che abbiamo seguito: in effetti per le serie numeriche non valgono in generale le proprietà che abbiamo imparato ad applicare con le somme finite.

Ci basterà dare la definizione di convergenza di una serie per capire che la cosiddetta serie di Grandi è un po’ particolare (parleremo di serie irregolare). Alla fine del capitolo ti proporremo una discussione un po’ più dettagliata sulla possibilità di estendere le naturali proprietà della somma (commutatività, associatività) alle serie numeriche e vedremo alcuni risultati davvero sorprendenti che ci confermeranno ciò che si diceva all’inizio: una serie è molto di più di una somma infinita!

Se qualcosa per ora non ti torna non ti preoccupare! Affronteremo tutto nel dettaglio nelle lezioni che seguono, a partire da una buona definizione di serie numerica!