Introduzione alle serie numeriche

Questa lezione sarà un’introduzione al mondo delle serie numeriche. Partiremo dalla definizione, impareremo il simbolismo matematico necessario.

Appunti

Come definire in maniera rigorosa il concetto di somma di infiniti termini? In questa lezione scoprirai che la strategia giusta è quella di sfruttare il concetto di limite di una successione.

Quale successione? La cosiddetta successione delle somme parziali: l’idea è quella di sommare i primi £$ k $£ termini considerati e cercare di capire se questa somma parziale £$ k-$£esima tenda o meno a qualche valore quando £$k\to +\infty$£.

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Prerequisiti per Introduzione alle serie numeriche

I prerequisiti per capire cosa sono le serie numeriche sono:

La definizione di serie numerica

Fin da bambini ci hanno abituati a fare somme e sottrazioni. Sappiamo bene che tali operazioni possono essere iterate, ovvero che grazie alla cosiddetta proprietà associativa è ben definito un oggetto come £$x_1+x_2+x_3+x_4+\dots+x_N$£ se £$x_1,x_2,\dots, x_N$£ sono £$ N $£ numeri reali.

Passiamo ora alla situazione in cui i termini da sommare sono infiniti! Lavoreremo nel modo seguente: supponiamo di avere una successione numerica £$ \{a_n\}_{n=1}^{+\infty}$£ e per ogni £$k\in\mathbb{N}$£ definiamo la seguente quantità:

$$A_k := a_1+a_2+a_3+\dots+a_k= \sum_{n=1}^{k}{a_n}$$

Abbiamo di fatto dato vita ad una nuova successione a partire da quella di partenza: la successione £$\{A_k\}_{k=1}^{+\infty}$£.

Ti ricordiamo, tra parentesi, che il simbolo £$\sum$£, che corrisponde alla lettera greca sigma maiuscola, viene utilizzato in matematica per denotare in maniera sintetica le sommatorie. La scrittura £$\sum_{n=1}^{k}{a_n}$£ si legge “somma per £$ n $£ che va da 1 a £$ k $£ degli £$a_n$£”.

Inoltre ricorda che, come già visto con le successioni, l’importante è che il termine generale £$a_n$£ sia definito a partire da un certo numero naturale £$n_0$£ in poi, non necessariamente per £$n=1,2,\dots$£. Talvolta ci tornerà utile considerare termini generali definiti a partire da £$n=0$£!

Siamo ora pronti per dare le seguenti definizioni:
  • La successione £$\{A_k\}$£ viene detta serie numerica (o semplicemente serie) di termine generale £$a_n$£.
  • La quantità £$A_k$£ viene chiamata somma parziale £$k-$£esima, £$\forall k\in\mathbb{N}$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Cos'è veramente una serie numerica

La serie di termine generale £$a_n$£ viene generalmente indicata nel modo seguente: $$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$$ Tale simbologia richiama l’idea di una somma di infiniti termini: tuttavia bisogna stare attenti a non farsi ingannare! La serie come oggetto matematico è la successione delle somme parziali, non la “somma infinita” a cui il nostro simbolo sembra alludere. Chiariamoci le idee con un esempio.

Consideriamo la successione £$a_n=n$£ e la successione delle somme parziali, ovvero la serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{n}$£. Possiamo elencarla così: £$\{1,3,6,10,15,21,28,\dots\}$£. In effetti in questo caso si avrebbe che £$A_k=\sum_{n=1}^{k}{n}$£, ovvero la serie, ha come termini le somme dei primi £$k$£ numeri naturali. Può avere senso chiedersi cosa accade quando £$k$£ diventa molto grande: come ti sembrerà ovvio la successione delle somme parziali diverge a £$+\infty$£ quando £$k\to +\infty$£. Abbiamo quindi verificato che la serie di termine generale £$a_n=n$£ è una successione numerica divergente a £$+\infty$£.

Questo fatto, cioè che una serie numerica è in realtà una successione, è il cardine di tutta la teoria sulle serie numeriche. In effetti da adesso in poi molto di quello che abbiamo visto sulle successioni ritornerà in gioco sotto un’altra veste, a partire dalla nozione di convergenza!

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.