Come affrontare gli esercizi sulle serie numeriche

Siamo arrivati alla parte conclusiva sulle serie numeriche! Ci restano pochi dettagli per completare la nostra preparazione. Scopri come affrontare gli esercizi sulle serie numeriche!

Appunti

Ti proporremo quindi delle indicazioni generali su come affrontare gli esercizi sulle serie, con tanto di esempi!

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Prerequisiti per affrontare gli esercizi sulle serie numeriche

Come affrontare gli esercizi sulle serie numeriche

Proviamo a riassumere con qualche indicazione ed alcuni esempi il metodo di lavoro da seguire negli esercizi sulle serie numeriche. Di solito ti verrà presentata una serie numerica tramite il suo termine generale e ti sarà chiesto di determinarne il carattere.

Immaginiamo di lavorare con una serie di termine generale £$\{a_n\}$£. La primissima cosa da fare è calcolare £$\ell=\lim_{n\to +\infty}{a_n}$£, se esiste. Ricorda che se £$\ell\neq 0$£ oppure il limite non esiste, allora certamente la serie non può convergere. In generale se £$\ell>0$£ allora la serie diverge a £$+\infty$£, se invece £$\ell<0$£ allora la serie diverge a £$-\infty$£. Se invece il £$\lim_{n\to +\infty}{a_n}$£ non esiste possiamo affermare con certezza che la serie non convergerà.

Supponiamo (come accadrà nella stragrande maggioranza dei casi) che valga £$\lim_{n\to +\infty}{a_n}=0$£. A questo punto è importante verificare il segno del termine generale £$a_n$£: se è (almeno definitivamente) positivo allora possiamo procedere cercando di applicare con successo i criteri che abbiamo visto finora; se invece £$a_n$£ non ha segno definitivamente positivo allora si passa a lavorare con la serie £$\sum{|a_n|}$£ dei valori assoluti. È certamente una serie a termini non negativi, quindi possiamo applicare i criteri già visti.

In particolare questo ci aiuta a stabilire se la nostra serie converge: infatti se £$\sum{|a_n|}$£ converge allora automaticamente £$\sum{a_n}$£ converge. Una raccomandazione fondamentale: se £$\sum{|a_n|}$£ diverge allora NON possiamo fare nessuna valutazione sul carattere della serie di partenza!

Quali sono i criteri di convergenza più sfruttati? Salvo casi eccezionali, si cerca sempre di utilizzare i criteri del confronto e del confronto asintotico per confrontare £$|a_n|$£ con i termini generali di serie a termini positivi di cui già conosciamo il comportamento. In particolare le nostre pietre di paragone saranno solitamente la serie geometrica e la serie armonica generalizzata.

Non sei ancora certo di avere tutto sotto controllo? Eccoti qualche esempio che potrà chiarirti ancora meglio le idee:

  1. determiniamo il carattere della serie
    $$\sum_{n=1}^{+\infty}{ \frac{3^n+n^5}{\sqrt{n}+7^{n-2}}}$$
    Il termine generale £$a_n=\frac{3^n+n^5}{\sqrt{n}+7^{n-2}}$£ è sempre positivo. Inoltre lavorando sulla successione £$a_n$£ come abbiamo imparato otteniamo:
    £$ \displaystyle a_n = $£
    £$ \displaystyle \quad = \frac{3^n+n^5}{\sqrt{n}+7^{n-2}} = $£
    £$ \displaystyle \quad = 49\cdot\frac{3^n+\mathit{o}(3^n)}{7^n+\mathit{o}(7^n)} \sim $£
    £$ \displaystyle \quad \sim 49\cdot\left(\frac{3}{7}\right)^n\xrightarrow{n\to +\infty} 0 $£
    Osserviamo quindi che è soddisfatta la condizione £$\lim_{n\to +\infty}{a_n}=0$£, necessaria per la convergenza. Inoltre apprendiamo che il nostro termine generale è asintotico, a meno di una costante moltiplicativa, a quello di una serie geometrica di ragione £$\frac{3}{7}<1$£. Allora il criterio del confronto asintotico ci garantisce che £$\sum_{n=1}^{+\infty}{ \frac{3^n+n^5}{\sqrt{n}+7^{n-2}}}$£ è una serie convergente;
  2. lavoriamo ora con la serie
    $$\sum_{n=1}^{+\infty}{ \frac{\cos{(n)}}{n^3\cdot\sqrt[n]{(n+5)^{10}}}}$$
    Ci accorgiamo subito che in questo caso il termine generale £$\{a_n\}$£ non ha segno definitivamente costante! Ci tocca quindi passare alla serie dei valori assoluti. In particolare osserviamo che:
    $$0\leq|a_n|=\frac{|\cos{(n)}|}{n^3\cdot\sqrt[n]{(n+5)^{10}}} \leq \frac{1}{n^3\cdot\sqrt[n]{(n+5)^{10}}}$$
    Quindi se riusciamo a dimostrare che la serie di termine generale £$b_n=\frac{1}{n^3\cdot\sqrt[n]{(n+5)^{10}}}$£ è convergente, per il criterio del confronto, la nostra serie sarà assolutamente convergente e quindi semplicemente convergente. Si osserva che:
    £$ \displaystyle {b_n} = $£
    £$ \displaystyle \quad = \frac{1}{n^3\cdot\sqrt[n]{(n+5)^{10}}} = $£
    £$ \displaystyle \quad = \frac{1}{n^3\cdot\mathit{e}^{\frac{10\ln{(n+5)}}{n}}} = $£
    £$ \displaystyle \quad = \frac{1}{n^3\cdot(1+\mathit{o}(1))} \sim $£
    £$ \displaystyle \quad \sim \frac{1}{n^3} $£ 
    Quindi la serie £$\sum_{n=1}^{+\infty}{b_n}$£ è convergente perché asintotica ad una serie che sappiamo convergere! Allora tutto il nostro ragionamento fila e possiamo concludere che
    $$\sum_{n=1}^{+\infty}{ \frac{\cos{(n)}}{n^3\cdot\sqrt[n]{(n+5)^{10}}}}$$
    è assolutamente (e quindi semplicemente) convergente.