Il paradosso di Zenone

Prima di affrontare le serie numeriche in maniera più rigorosa ti proponiamo una breve nota storica che pensiamo possa essere utile per introdurre alcuni degli aspetti fondamentali di questo capitolo. Già alcuni secoli prima di Cristo la problematica di sommare dei termini all’infinito aveva dato dei grattacapi a più di qualche cervellone.

Appunti

Una serie numerica è, in prima battuta, una somma di infiniti addendi: in questa lezione cercheremo di studiare le principali proprietà di questi oggetti un po’ particolari. Scopriremo innanzitutto che, con le opportune definizioni, una serie numerica può essere finita e osserveremo che, in analogia rispetto a quanto accadeva con le successioni, il comportamento di una serie numerica dipende essenzialmente dalle caratteristiche che i suoi termini possiedono definitivamente (ossia da un certo punto in poi). Arriveremo a capire che le serie numeriche sono in realtà molto di più di una somma infinita!

Per poter affrontare al meglio i contenuti di questo capitolo ti consigliamo di dare prima un’occhiata alla sezione sulle successioni! È indispensabile avere una buona preparazione su questo argomento prima di poter passare a studiare le serie numeriche!

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Il paradosso di Achille e la tartaruga

Conoscerai probabilmente quel mattacchione di Zenone di Elea (V secolo a.C.) e soprattutto i suoi proverbiali paradossi. Il discepolo di Parmenide aveva elaborato queste argomentazioni con l’obiettivo di negare la possibilità del movimento e supportare quindi le teorie filosofiche del suo maestro, che proponevano una visione dell’Essere come immutabile, eterno, incorruttibile. Tutto ciò che era movimento e divenire doveva risultare impossibile nella realtà ed essere relegato a ciò che è apparenza.

Ebbene, Zenone propone, tra gli altri, il famosissimo paradosso di Achille e la tartaruga, che riportiamo brevemente (con le parole di Aristotele):

Il secondo argomento è quello detto di Achille. Eccolo: il più lento corridore non sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più veloce. Infatti sarà necessario che l'inseguitore proceda fin là donde si è mosso il fuggitivo, quindi è necessario che il corridore più lento si trovi sempre un po' più innanzi.

Zenone aveva ragione?

Supponiamo che Achille conceda un vantaggio di 100 metri in partenza alla simpatica tartaruga e che l’eroe omerico mantenga una velocità 100 volte superiore a quella della testuggine (supponiamo costanti entrambe le velocità). Avremo allora che dopo qualche secondo - circa 10 se il Pelide è un vero atleta! - Achille avrà percorso i 100 metri che lo separavano dalla tartaruga e nel frattempo essa si sarà portata avanti di un metro. Successivamente Achille avanzerà del metro mancante e la tartaruga di un centimetro. Poi Achille procederà di un centimetro e la tartaruga sarà sempre avanti, questa volta di un decimillimetro, e così via.

Sembra ragionevole pensare che Achille non raggiungerà mai la tartaruga! Eppure la realtà ci dimostra il contrario: ad un certo punto Achille supera la tartaruga. Come spiegare questo risultato paradossale?

Il nocciolo della questione sta nel fatto che sommando i tratti di strada percorsi da Achille avremo (in metri):

$$ 100 + 1 + \frac{1}{100} + \frac{1}{100^2} + \frac{1}{100^3} +\dots $$

Si ottiene una “somma infinita” analoga se consideriamo i tempi impiegati nei vari tratti (proporzionali alla distanza percorsa). Ci siamo quindi ritrovati di fronte ad un primo semplice esempio di serie numerica. Ancora una volta il buon senso ci dice che, continuando a sommare termini positivi, otterremo un risultato sempre più grande, che è destinato a crescere sempre più: sembra che Zenone abbia ragione.

Eppure a ben guardare i termini che stiamo sommando diventano sempre più piccoli (o più correttamente diventano infinitesimi): dimostreremo che la serie qui considerata “converge” ad un valore finito, ovvero se sommiamo i primi £$ n $£ termini con £$ n $£ molto grande ci avviciniamo ad un numero finito, che in questo caso è £$ \frac{10000}{99} $£. Analogamente converge anche la serie dei tempi impiegati da Achille.

Insomma l’eroe raggiunge la tartaruga in un tempo finito dopo aver percorso una lunghezza finita (di poco superiore ai 100 metri): il paradosso è caduto.

Se ancora tutto ciò non ti sembra possibile proviamo a convincerti con la seguente figura:

Abbiamo un rettangolo di area finita 2 (rispetto all’unità di superficie utilizzata) che si ottiene sommando delle porzioni di area £$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots $£. La somma di tali termini deve dunque essere finita!

Vedremo che la serie che descrive il percorso di Achille e quella di cui abbiamo proposto la raffigurazione sono per così dire imparentate (parleremo di serie geometriche)!