La serie geometrica e la serie armonica

Ecco alcuni semplici (ma fondamentali) esempi che ci saranno utili da qui alla fine del percorso!

Appunti

Per individuare il carattere di una serie, è fondamentale avere chiari questi esempi: la serie geometrica, la serie armonica e la cosiddetta serie di Mengoli.

Ti renderai presto conto che gli esempi che presentiamo ora sono tra i pochissimi casi in cui si riesce a ricavare con facilità la somma di una serie!

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Prerequisiti per Serie geometrica e Serie armonica

I prerequisiti per scoprire la serie geometrica e la serie armonica sono:

La serie geometrica

Ci occupiamo ora di alcune delle serie numeriche più celebri e più importanti che non puoi non conoscere!

Iniziamo dalle così dette serie geometriche. Sia £$t\in\mathbb{R}$£ un qualsiasi numero reale e consideriamo la serie di termine generale £$a_n=q^n$£ per £$n=0,1,2,\dots$£ (nota che si parte da zero!). Tale serie, ovvero £$\sum_{n=0}^{+\infty}{q^n}$£, viene detta serie geometrica di ragione £$q$£. Chiaramente il comportamento di questa serie dipende proprio da £$q$£. Cerchiamo di dividere il problema in diversi casi:

  • se £$q=1$£ allora £$a_n=1$£ £$\forall n$£ e quindi £$A_k=\sum_{n=0}^{k}{a_n}=k+1\to +\infty$£ se £$k\to +\infty$£. In questo caso si verifica quindi che la serie diverge a £$+\infty$£;
  • se £$q=-1$£ ritroviamo la serie di Grandi, che sappiamo essere irregolare;
  • più in generale se £$q\neq 1$£ l’algebra ci suggerisce (provare per credere!) che
    $$A_k=\sum_{n=0}^{k}{a_n}=1+q+q^2+q^3+\dots + q^k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$$
    Ricordando cosa accadeva per le successioni potenza al variare della base ricaveremo senz’altro che se £$|q|<1$£ allora la serie è convergente con somma pari a £$\frac{1}{1-q}$£;
  • ragionando come al punto precedente ricaviamo che se £$q>1$£ allora la serie £$\sum_{n=0}^{+\infty}{q^n}$£ sarà divergente a £$+\infty$£;
  • infine, nel caso in cui £$q<-1$£, la serie assumerà un carattere irregolare. Infatti la successione delle somme parziali sarà, come già visto, £$A_k=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$£. Il denominatore è sempre positivo se £$q<-1$£, mentre il segno del numeratore dipende dall’esponente £${k+1}$£. Se consideriamo solo i termini con £$ k $£ pari (ovvero per cui vale £$k=2h$£) si avrà
    $$A_k=A_{2h}=\frac{1-q^{2h+1}}{1-q}\to +\infty \text{ per } h\to +\infty$$
    Se invece consideriamo solo i termini con £$k $£ dispari (ovvero per cui vale £$k=2h+1$£) si avrà $$A_k=A_{2h+1}=\frac{1-q^{2h+1+1}}{1-q}=\frac{1-q^{2\left(h+1\right)}}{1-q}\to -\infty \text{ per } h\to +\infty$$
    Queste osservazioni ci dicono che non può esistere £$\lim_{k\to +\infty}{A_k}$£, quando £$q<-1$£, cioè quanto volevamo!

Ricapitolando in maniera schematica:
$$\sum_{n=0}^{+\infty}{q^n}=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty & \text{se } q \geq 1 \\ \frac{1}{1-q} & \text{se } |q| < 1 \\ \text{oscilla } & \text{se } q\leq -1 \\ \end{array} \right.$$

Prova a rileggere la storia di Achille e la tartaruga: è proprio una serie geometria di ragione compresa tra 0 e 1 a condannare la testuggine ad essere raggiunta dall’eroe!

La serie armonica

Passiamo ora ad occuparci di un’altra serie fondamentale: si tratta della serie numerica di termine generale £$a_n=\frac{1}{n}$£, meglio nota come serie armonica. Sembrerebbe un oggetto del tutto innocuo: il termine generale è sempre positivo e tende a zero per £$n\to +\infty$£: ci sono tutti i presupposti affinché sia una serie convergente. Ed invece no!

Ci tocca riconoscere, infatti, che: $$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n}}=+\infty$$ La serie armonica diverge a £$+\infty$£!

Cerchiamo di capire perché. £$A_{k+1}=\sum_{n=1}^{k+1}{\frac{1}{n}}=A_k+\frac{1}{k}>A_k\quad\forall k\in\mathbb{N}$£
Quindi la successione delle somme parziali è strettamente crescente (com’era facile immaginare). Ci ricordiamo ora che la monotonia crescente di una successione fa sì che essa possa solo convergere o divergere a £$+\infty$£.

Tuttavia ci accorgiamo che:

$$A_{2k}-A_k=\sum_{n=1}^{2k}{\frac{1}{n}} - \sum_{n=1}^{k}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\dots +\frac{1}{2k}>k\frac{1}{2k}=\frac{1}{2}$$

Questa osservazione traduce in maniera rigorosa il fatto già notato da Nicola d’Oresme in pieno XIV secolo:

£$ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n}} = $£

£$ \quad \quad \displaystyle = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots = $£

£$ \quad \quad \displaystyle = 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots \geq $£ 

£$ \quad \quad \displaystyle \geq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots $£

Sostanzialmente si vede che, escluso il primo termine, è possibile raggruppare i termini successivi in gruppi tali che la loro somma sia sempre maggiore di £$\frac{1}{2}$£. Quindi la successione delle somme parziali non può che divergere per confronto! Possiamo perciò affermare che

$$\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n}}=+\infty$$