Somma e prodotto di serie numeriche

Cosa può significare sommare e moltiplicare tra loro due serie numeriche? Scopri tutto in questa lezione di approfondimento.

Appunti

La somma di due serie numeriche non è così difficile da definire: scopri come funziona con alcuni esempi.

Non si può dire lo stesso per il prodotto: per dare una definizione formale è intervenuto Cauchy. Scopri come funziona la moltiplicazione di due serie numeriche.

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per Somma e prodotto di serie numeriche

I prerequisiti per somma e prodotto di serie numeriche sono:

Somma di due serie numeriche

Ci occupiamo di definire le operazioni elementari tra le serie numeriche: somme e prodotti. Per la somma le cose procedono senza troppi intoppi.

Consideriamo due serie numeriche £$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n}$£ e £$\sum_{n=1}^{+\infty}{b_n}$£: viene naturale definire la somma come la serie di termine generale £$c_n=a_n+b_n$£, ovvero £$\sum_{n=1}^{+\infty}{(a_n+b_n)}$£.

In effetti si vede che la nostra definizione è buona e porta al risultato seguente.

Se le due serie sommate sono regolari (ovvero convergenti o divergenti) e non si ha forma di indecisione £$[+\infty -\infty]$£ allora la serie somma è regolare e vale anche da un punto di vista “aritmetico” l’uguaglianza: $$\sum_{n=1}^{+\infty}{a_n} + \sum_{n=1}^{+\infty}{b_n} = \sum_{n=1}^{+\infty}{(a_n+b_n)}$$

In effetti è sufficiente passare alle somme parziali per rendersi conto che tutto funziona. Si ha infatti: $$C_k=\sum_{n=1}^{k}{c_n}=\sum_{n=1}^{k}{(a_n+b_n)}=\sum_{n=1}^{k}{a_n}+\sum_{n=1}^{k}{b_n}=A_k+B_k$$ Passando al limite per £$k\to +\infty$£ si ricava l’uguaglianza di cui sopra!

Ad esempio la serie £$ \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{5^n}+\frac{1}{n(n+1)}}$£ converge con somma £$S=\frac{5}{4}$£.

Infatti: £$ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{5^n}+\frac{1}{n(n+1)}} = $£

£$ \displaystyle \hspace{4cm} = \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{5^n}}+\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n(n+1)}} = $£

£$ \displaystyle \hspace{4cm} = \sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{1}{5^n}} - 1 + 1 = $£

£$ \displaystyle \hspace{4cm} = \frac{5}{4} $£

Per concludere abbiamo utilizzato le nostre conoscenze sulle somme di serie geometriche e della serie di Mengoli!

Prodotto di due serie secondo Cauchy

Se definire una somma tra serie ci è sembrato piuttosto immediato, non è così con il prodotto.

In effetti ti basterà un secondo di riflessione per osservare il fatto seguente: date due serie £$\sum_{n=0}^{+\infty}{a_n}$£ e £$\sum_{n=0}^{+\infty}{b_n}$£, la serie £$\sum_{n=0}^{+\infty}{(a_n\cdot b_n)}$£ NON ha la proprietà che le sue somme parziali siano il prodotto delle somme parziali delle serie di partenza!

Come fare allora per definire il prodotto tra due serie in maniera sensata?

Il trucco è immaginare una serie come una sorta di “polinomio infinito” e utilizzare per le serie le stesse regole del prodotto tra polinomi. Ci spieghiamo meglio:

Supponiamo di poter scrivere le nostre due serie nel modo seguente: $$a_0+a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 +\dots + a_n x^n +\dots$$ $$b_0+b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3 +\dots + b_m x^m+\dots$$ Per noi l’inserimento della £$x$£ con le relative potenze ha un significato puramente formale: ci aiuta a capire il procedimento che useremo!

Eseguiamo il prodotto sommando tra loro i termini con la stessa potenza di £$x$£, come se avessimo a che fare con dei polinomi. Otterremo una serie che, sempre nel nostro linguaggio formale, apparirà come:

$$a_0 b_0 + x(a_1 b_0 + a_0 b_1 ) + x^2(a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 ) + \dots + x^n\sum_{j=0}^{n}{a_j b_{n-j}} +\dots $$

Chiaramente siccome stiamo supponendo di fare un prodotto tra “polinomi infiniti” il risultato sarà ancora un polinomio infinito. Ritornando ora alla scrittura abituale delle serie numeriche, siamo portati a definire un prodotto di serie in questo modo:

Date due serie numeriche £$\sum_{n=0}^{+\infty}{a_n}$£ e £$\sum_{n=0}^{+\infty}{b_n}$£ definiamo prodotto secondo Cauchy delle due serie la serie £$\sum_{n=0}^{+\infty}{c_n}$£ dove vale che $$c_n=\sum_{j=0}^{n}{a_j b_{n-j}}$$

Ti presentiamo un risultato che ci fa capire che questa definizione di prodotto è quella che funziona.

Se £$\sum_{n=0}^{+\infty}{a_n}$£ e £$\sum_{n=0}^{+\infty}{b_n}$£ sono due serie assolutamente convergenti e la serie £$\sum_{n=0}^{+\infty}{c_n}$£ è il loro prodotto secondo Cauchy, allora tale serie è assolutamente convergente e vale inoltre la seguente uguaglianza:

$$\sum_{n=0}^{+\infty}{c_n}=\sum_{n=0}^{+\infty}{a_n} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty}{b_n}$$

Quindi se due serie sono assolutamente convergenti allora la loro somma e il loro prodotto secondo Cauchy sono ancora serie numeriche assolutamente convergenti!

Cosa accade se facciamo il prodotto di due serie che non hanno il pregio di essere assolutamente convergenti? Non approfondiamo troppo la questione: ti basti sapere che si possono avere comportamenti piuttosto vari e non sempre prevedibili. Sulle serie ci sarebbe ancora molto da dire!