Calcolo dei limiti di una successione

Siamo finalmente arrivati a poter enunciare i teoremi fondamentali che ci permettono di calcolare i limiti di successioni. Come forse già saprai il calcolo dei limiti diventa arduo soprattutto quando si incorre nelle temute forme di indecisione. Vedremo perciò come risolverle in alcuni casi semplici e inoltre ti sveleremo dei trucchi che permettono di ricondurci sempre a due sole forme di indecisione!

2019-04-03 08:47:49

I teoremi fondamentali sul calcolo dei limitidi successioni ci consentono di dare solidità e certezza ad alcune intuizioni che probabilmente avrai già avuto.
È facile immaginare che il limite della somma di due successioni convergenti sia la somma dei loro limiti, tuttavia come al solito in matematica nulla è scontato e quindi occorre un teorema dimostrabile che ci consenta di fare determinate affermazioni.

Come presto ti renderai conto, i veri problemi nel calcolo dei limiti riguardano quei casi che non sono trattati dai teoremi standard e per i quali occorre un “supplemento di indagine”. Si tratta delle cosiddette forme di indecisione, ossia di situazioni da analizzare caso per caso con delle tecniche che impareremo man mano. In questa lezione affronteremo in particolare il caso di successioni che sono rapporto di polinomi e vedremo come riportarci sempre a due sole forme di indecisione!

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Teoremi per il calcolo dei limiti di successioni

Vediamo alcuni metodi per calcolare i limiti di successioni. Il teorema che segue ci dà informazioni sul limite di una somma algebrica e di un prodotto di due successioni.
Il rapporto di due successioni può a sua volta essere visto come un prodotto di successioni e quindi rientra nella nostra casistica! Infatti se avessimo una successione del tipo £$x_n=\frac{a_n}{b_n}$£, allora definendo £$c_n=\frac{1}{b_n}$£ potremmo facilmente scrivere £$x_n=a_n \cdot c_n$£ e ricondurci alla situazione contemplata dal teorema.

Teorema (calcolo dei limiti di successioni). Siano £$ a_n$£ e £$ b_n$£ due successioni a valori reali tali che £$a_n\rightarrow \alpha$£ e che £$b_n\rightarrow\beta$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, dove £$\alpha,\, \beta \in \mathbb{R}$£, allora:

  • le successioni £$ a_n+b_n$£ e £$ a_n\cdot b_n$£ sono regolari;
  • £$a_n+b_n\rightarrow \alpha + \beta$£ e £$a_n\cdot b_n\rightarrow \alpha \cdot \beta$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

Cosa succede se £$\alpha$£ o £$\beta$£ (o entrambi) sono limiti infiniti? Beh il teorema continua a valere nei casi riportati nella seguente casistica di possibili “operazioni” tra un numero reale £$c\in\mathbb{R}$£ e un valore infinito, oppure tra due valori infiniti.
Ricordati che questa “aritmetica” in cui compaiono i simboli di £$\pm\infty$£ vale esclusivamente per il calcolo dei limiti! Abbiamo che:

  • £$c+(\pm\infty)=\pm\infty$£
  • £$(\pm\infty)+(\pm\infty)= \pm\infty$£
  • £$(\pm\infty)\cdot (\pm\infty)= +\infty$£
  • £$(\pm\infty)\cdot (\mp\infty)= -\infty$£
  • £$c\cdot(\pm\infty)=\pm\infty$£ se £$c>0$£
  • £$c\cdot(\pm\infty)=\mp\infty$£ se £$c<0$£

Come si vede ci sono alcuni casi che non sono contemplati nell’elenco che compare qui sopra. Si tratta delle cosiddette forme di indecisione, ovvero quei casi in cui il comportamento della successione £$ a_n+b_n $£ o della successione £$ a_n\cdot b_n $£ non può essere predefinito a priori dal teorema!
Si tratta dei casi £$[+\infty -\infty ]$£ e £$[0\cdot (\pm\infty) ]$£. Le forme di indecisione verranno affrontate in maniera più sistematica nel prossimo post di questa lezione.

Prima di procedere, infatti, vediamo un altro teorema utilissimo per il calcolo di limiti di successioni.

Teorema (successioni e funzioni elementari). Consideriamo una funzione £$f:D\rightarrow\mathbb{R}$£ con £$D\subseteq\mathbb{R}$£ tra le funzioni elementari che conosciamo (funzioni goniometriche e loro inverse, funzione logaritmica, funzione esponenziale… insomma tutte le funzioni base). Consideriamo una successione £$ x_n $£ a valori nel dominio £$D$£ della funzione £$f$£, ossia imponiamo che debba valere £$x_n\in D\:\forall n\in\mathbb{N}$£. Se vale che £$x_n\rightarrow p$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, allora la successione £$y_n=f(x_n)\rightarrow f(p)$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

Possiamo descrivere questo enunciato dicendo che il limite si comporta bene rispetto alla composizione di funzioni.

ESEMPIO: consideriamo come funzione £$f$£ la funzione coseno e come successione £$x_n=\frac{1}{n}$£. Evidentemente £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=0$£. Il teorema appena visto ci assicura automaticamente che £$y_n=f(x_n)=\text{cos }{\left(\frac{1}{n}\right)}$£ tende al valore £$\text{cos }0=1$£ per £$n\rightarrow +\infty$£. Proviamo invece a prendere £$f$£ la funzione esponenziale e la successione £$x_n=-\sqrt{n}$£. In questo caso avremmo che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=-\infty$£ e, conseguentemente, £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}e^{-\sqrt{n}}=0$£, perché la funzione esponenziale con base £$e$£ tende a £$0$£ se l’esponente tende a £$-\infty$£.

Come risolvere la forma indeterminata £$[+\infty -\infty ]$£

Consideriamo la prima forma di indecisione £$[+\infty -\infty ]$£ e facciamo vedere che, a seconda dei casi, possono succedere cose ben distinte, ovvero che siamo proprio di fronte ad una forma di indecisione!

ESEMPIO: se prendiamo £$a_n=n^{3}$£ e £$b_n=-n$£, abbiamo che £$a_n\rightarrow +\infty$£ e che £$b_n\rightarrow -\infty$£. In questo caso la successione £$a_n+b_n=n^{3}-n\rightarrow +\infty$£ perché il cubo £$(n^{3})$£ predomina.
Se prendiamo £$a_n=-b_n+5$£, con £$a_n\rightarrow +\infty$£, allora la successione £$a_n+b_n=5\:\forall n\in\mathbb{N}$£ tende inevitabilmente a £$5$£, essendo costante!

In generale possono accadere situazioni meno semplici in cui occorrerà imparare trucchi e metodi per eliminare la forma di indecisione.
Ti presentiamo un primo caso classico: se £$a_n=\sqrt{n+3}$£ e £$b_n=-\sqrt{n}$£ avremo che £$c_n=a_n+b_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}$£ presenta proprio la forma di indecisione £$[+\infty -\infty]$£. Il trucco a cui ricorriamo in questo caso per ricondurci ad una situazione più semplice consiste nel moltiplicare e dividere la successione £$c_n$£ per il fattore £$\sqrt{n+3}+\sqrt{n}$£. Otteniamo perciò:

$$c_n=\frac{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})\cdot(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\frac{n+3-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}$$

Abbiamo quindi sfruttato un prodotto notevole (somma per differenza) per riscrivere la successione £$c_n$£ come £$c_n=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}$£.

Il denominatore tende evidentemente a £$+ \infty$£ mentre il numeratore è una costante positiva. Segue allora che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}c_n=0^{+}$£.

Forma indeterminata £$\left[0\cdot\infty\right]$£

La seconda forma di indecisione £$[0\cdot\infty]$£ presenta situazioni in genere più intricate. Innanzitutto, osserviamo che si può trovare sotto forma dei casi £$\left[\frac{0}{0}\right]$£ e £$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$£, anzi si tratta proprio di quello che accade la maggior parte delle volte.

In precedenza abbiamo detto che il rapporto di due successioni può sempre essere visto come il prodotto di due successioni. Per poter usare però questa osservazione in maniera efficace, ossia ai fini del calcolo dei limiti, dobbiamo avere ben chiaro quali relazioni sussistono tra una successione £$x_n$£ (con £$x_n\neq 0\:\forall n\in\mathbb{N}$£) e la successione £$\frac{1}{x_n}$£. Valgono le seguenti implicazioni (del tutto logiche d’altra parte):

  • £$x_n\rightarrow \pm\infty\Rightarrow\frac{1}{x_n}\rightarrow 0^{\pm}$£
  • £$x_n\rightarrow 0^{\pm}\Rightarrow\frac{1}{x_n}\rightarrow \pm\infty$£
  • £$|x_n|\rightarrow +\infty\Rightarrow\frac{1}{x_n}\rightarrow 0$£
  • £$x_n\rightarrow 0$£ (non £$ 0^+ $£ né £$ 0^- $£) £$\Rightarrow\frac{1}{x_n}$£ è irregolare

ESEMPI: consideriamo la successione £$x_n=\frac{n^{3}-5}{\sqrt{n}}$£. Possiamo vederla come rapporto delle successioni £$a_n=n^{3}-5$£ e £$b_n=\sqrt{n}$£. Entrambe le successioni tendono a £$+\infty$£ per £$n\rightarrow +\infty$£. Quindi la successione £$x_n$£ è caratterizzata dalla forma di indecisione £$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$£. Tuttavia possiamo anche studiare la successione £$x_n$£ come prodotto di £$a_n$£ e della successione £$c_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$£. È abbastanza facile intuire che £$b_n\rightarrow +\infty$£ e che quindi £$c_n\rightarrow 0^{+}$£ per £$n\rightarrow +\infty$£. Guardando la successione £$x_n$£ in questa maniera appare bene evidente la forma £$[0\cdot +\infty]$£.

Allo stesso modo la successione £$y_n=n\cdot \text{sen} \left({\frac{1}{n}}\right)$£ ad una prima occhiata appare come prodotto delle successioni £$a_n=n$£ e £$b_n=\text{sen}\left({\frac{1}{n}}\right)$£, con £$a_n\rightarrow +\infty$£ (ovvio) e £$b_n\rightarrow 0$£ (segue dal teorema: £$\frac{1}{n}\rightarrow 0\Rightarrow\text{sen}\left({\frac{1}{n}}\right)\rightarrow\text{sen }(0)=0$£) e quindi abbiamo una forma £$[0\cdot \infty]$£.
Ma la successione £$y_n$£ si può riscrivere come £$y_n=\frac{\text{sen}\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$£, e in questo caso appare evidente la forma £$\left[\frac{0}{0}\right]$£. Insomma le tre forme di indecisione £$[0\cdot\infty]$£, £$\left[\frac{0}{0}\right]$£ e £$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$£ risultano in fin dei conti del tutto equivalenti!

Forma indeterminata £$[ \infty$£ / £$\infty ]$£ per successioni rapporti di polinomi

Spesso negli esercizi che vengono proposti sul calcolo dei limiti di successioni ci si trova ad affrontare il caso in cui la successione in questione si scrive come il rapporto di due polinomi, come ad esempio £$x_n=\frac{-n^{3}-2n^{2}+4}{n^{4}+n-2}$£.
Cercando di calcolare il limite di tali successioni per £$n\rightarrow +\infty$£ si incorre sempre in una forma di indecisione del tipo £$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$£. Per eliminare tale forma di indecisione si ricorre quasi sempre ad un metodo standard che adesso vedremo passo per passo:

  1. Si raccoglie sia al numeratore che al denominatore il termine di grado maggiore. Nell’esempio appena visto dovremo riscrivere la successione £$x_n$£ come £$x_n=\frac{n^{3}\left(-1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{3}}\right)}{n^{4}\left(1+\frac{1}{n^{3}}-\frac{2}{n^{4}}\right)}$£
  2. Si semplifica quello che si può semplificare tra i due termini di grado massimo. Nel nostro caso otterremmo £$x_n=\frac{-1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{3}}}{n\left(1+\frac{1}{n^{3}}-\frac{2}{n^{4}}\right)}$£ semplificando un fattore di £$n^{3}$£
  3. A questo punto la forma di indecisione è stata eliminata. Nel nostro caso abbiamo un numeratore che tende a £$-1$£, mentre il denominatore è il prodotto di un fattore che tende a £$+\infty$£ e di un fattore che tende a £$1$£. Segue dalle regole che abbiamo visto prima che il denominatore tenderà a £$+\infty$£, quindi l’intera successione tenderà a £$0$£ in quanto rapporto di una successione che tende a un valore finito e di una che tende a un valore infinito.

I più attenti avranno già intuito che il metodo che abbiamo appena visto conduce ad una regola pratica facilissima da applicare! Infatti, se ci troviamo di fronte ad una successione del tipo £$x_n=\frac{P(n)}{Q(n)}$£, dove £$P(n)$£ e £$Q(n)$£ sono dei polinomi, avremo che:

  • Se il grado del polinomio £$P(n)$£ è maggiore di quello del polinomio £$Q(n)$£, allora sicuramente £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=\pm\infty$£. Attenzione: il segno dell’infinito dipende dai casi, ovvero dal segno dei coefficienti dei termini di grado massimo del numeratore e del denominatore.
    Per esempio se £$x_n=\frac{4n^{3}+3}{-5n+2}=\frac{n^3\left(4+\frac{3}{n^{3}}\right)}{-5+\frac{2}{n}}$£ abbiamo che, dopo aver applicato il metodo visto prima, il numeratore tende a £$+\infty$£, mentre il denominatore tende a £$-5$£. Quindi per le regole che abbiamo visto avremo che £$x_n\rightarrow -\infty$£ (basta fare il normale prodotto dei segni!).
  • Se il grado del polinomio £$P(n)$£ è minore di quello del polinomio £$Q(n)$£, allora sicuramente £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=0$£. Per studiare se £$x_n$£ tende a £$ 0^- $£ o £$ 0^+ $£, basta semplicemente fare, come in precedenza, il prodotto dei segni dei termini di grado massimo del numeratore £$P(n)$£ e del denominatore £$Q(n)$£. Ad esempio la successione che abbiamo già studiato £$x_n=\frac{-n^{3}-2n^{2}+4}{n^{4}+n-2}$£ tenderà a £$0^{-}$£.
  • Se il grado di £$P(n)$£ è uguale al grado di £$Q(n)$£ allora il valore limite della successione £$x_n$£ è dato dal rapporto tra i coefficienti del termine di grado massimo di numeratore e denominatore. Ad esempio la successione £$x_n=\frac{3n^{3}-n+2}{-2n^{3}+n^{2}-5}$£ tende sicuramente a £$-\frac{3}{2}$£. Prova ad eseguire il raccoglimento che ti abbiamo suggerito sopra per convincerti di questo fatto!

Un trucco utile per non incorrere in altre forme indeterminate

Molti libri di testo introducono altre forme di indecisione oltre a quelle già affrontate. Infatti non ci siamo ancora chiesti cosa succede quando ci troviamo di fronte ad una successione del tipo:

$$x_n={a_n}^{b_n}$$

dove £$a_n$£ e £$b_n$£ sono a loro volta delle successioni. Studiando una successione £$x_n$£ di questo tipo, potremmo ritrovarci di fronte ad altre tre forme di indecisione: £$[1^{\infty}]$£, £$[0^{0}]$£, £$[\infty^{0}]$£.

Inoltre ci occorrerebbe un altro teorema che spieghi come comportarci, almeno nei casi “buoni”, con successioni di questo tipo.
Adesso proveremo a trovare un modo per ricondurre lo studio della successione £$x_n={a_n}^{b_n}$£ a quanto già sappiamo su calcolo dei limiti e forme di indecisione.

Prima di procedere facciamo alcune premesse. Occorre infatti ricordarci cos’è e come è definito il numero £$\mathit{e}$£, detto anche numero di Nepero. Probabilmente saprai che si tratta di un numero particolarmente famoso in matematica, che viene spesso (anzi quasi sempre!) utilizzato come base privilegiata per le funzioni esponenziali e logaritmiche (in tal caso si parla di “logaritmo naturale”). Si tratta di un numero irrazionale e il suo valore si aggira all’incirca attorno a £$2,718281\dots$£.

Quello che forse puoi non ricordarti è il fatto che questo numero è definito come il limite di una particolare successione: £$\mathit{e}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mathit{e}_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$£
Osservando questa successione ti sarai probabilmente accorto che essa si presenta esattamente nella forma £$\mathit{e}_n={a_n}^{b_n}$£, e che inoltre £$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\rightarrow 1$£ e £$b_n=n\rightarrow +\infty$£. Ovvero ci troveremmo di fronte ad una di quelle forme di indecisione (in particolare £$[1^{\infty}]$£) che ci siamo proposti di evitare!
Ebbene, conoscere (a priori e per pura fiducia nei matematici!) il valore limite della successione £$\mathit{e}_n$£, ci permetterà di non dover affrontare in seguito altre forme di indecisione del tipo £$[1^{\infty}]$£, £$[0^{0}]$£, £$[\infty^{0}]$£.

In termini concreti cosa possiamo fare? Presa una successione del tipo £$x_n={a_n}^{b_n}$£, la riscriviamo come £$x_n=\mathit{e}^{\ln\left({{a_n}^{b_n}}\right)}$£. Ricordiamo quindi la proprietà dei logaritmi £$\ln{\alpha^{\beta}}=\beta\ln{\alpha}$£ e riscriviamo la successione £$x_n$£ come £$x_n=\mathit{e}^{b_n\ln{a_n}}$£.

A questo punto sfruttiamo il teorema che lega successioni e funzioni elementari: £$a_n\rightarrow p\Rightarrow\ln{a_n}\rightarrow\ln{p}$£. Dovremo poi vedere come si comporta l’esponente, cioè calcolare £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}b_n\ln{a_n}=q$£ e, infine avremo che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mathit{e}^{b_n\ln{a_n}}=\mathit{e}^q$£.
Va da sé il fatto che se £$p$£ o £$q$£ sono limiti infiniti (oppure £$p=0$£) la strategia risulta esattamente la stessa. Insomma avremo che:

  • £$p=+\infty\Rightarrow\ln{a_n}\rightarrow +\infty$£
  • £$p = 0 \Rightarrow\ln{a_n}\rightarrow -\infty$£
  • £$q=+\infty\Rightarrow x_n\rightarrow +\infty$£
  • £$q=-\infty\Rightarrow x_n\rightarrow 0$£

In ogni caso utilizzando questo procedimento rischiamo di incappare in una forma di indecisione solo e soltanto se si presenta nel prodotto £$b_n\cdot\ln{a_n}$£, ovvero se è la forma £$[0\cdot\infty]$£. Abbiamo quindi ottenuto esattamente quanto volevamo! Proviamo a chiarire tutto il procedimento con un esempio.

ESEMPIO: consideriamo la successione £$x_n=\left(\mathit{e}^{n}\right)^{\frac{3}{n^{2}}}$£. Ci troviamo proprio in uno dei casi in cui si incorrerebbe nella forma di indecisione £$[\infty^{0}]$£. Giusto per evitare fraintendimenti ti ricordiamo che il procedimento che abbiamo appena visto si adatterebbe benissimo anche ai casi in cui non vi è forma di indecisione. Riscriviamo perciò la nostra successione come abbiamo imparato: £$x_n=\mathit{e}^{\frac{3}{n^{2}}\ln{\mathit{e}^{n}}}=\mathit{e}^{\frac{3n}{n^{2}}}=\mathit{e}^{\frac{3}{n}}$£

La forma di indecisione ricompare all’esponente nella forma £$[0\cdot\infty]$£ nel prodotto £$\frac{3}{n^{2}}\ln{\mathit{e}^{n}}$£. Poi si sfrutta il fatto che £$\ln{\mathit{e}^{n}}=n$£ e il gioco è fatto!

A questo punto, siccome l’esponente £${\frac{3}{n}}$£ tende a £$0$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, allora avremo che £$x_n=\mathit{e}^{\frac{3}{n}}\rightarrow 1$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

Esercizi di Calcolo dei limiti di una successione - 1

Esercizi di Calcolo dei limiti di una successione - 2

Esercizi di Calcolo dei limiti di una successione - 3

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