Prerequisiti per Carattere di una successione
I prerequisiti per capire il carattere di una successione sono:
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Carattere di una successione
Anche le successioni hanno il loro carattere: si tratta della definizione formale del limite di una successione. Una successione può essere convergente, divergente oppure oscillante.
Scopri cosa significa calcolare il limite di una successione nella prossima lezione!
Appunti
Le definizioni potrebbero sembrarti formali, ma sono l’unica maniera di scrivere in maniera tecnica e precisa quello che a parole possiamo comunque semplificare, quindi ti consigliamo di impararle molto bene!
Come puoi forse già aver visto alle superiori, in base all’esistenza del limite e alla sua natura (se è finito o infinito) le successioni si divideranno in convergenti (limite finito), divergenti (limite infinito) e irregolari (limite non esistente).
Contenuti di questa lezione su: Carattere di una successione
Successioni convergenti
Come per le funzioni, esiste una definizione formale del concetto di limite.
Una successionea valori reali £$ x_n$£ ha limite un valore finito £$\ell \in\mathbb{R}$£ se:
£$\forall \varepsilon >0\:\exists N=N(\varepsilon) \text{ tale che } \forall n\in\mathbb{N}, n>N \text{ vale che } |x_n-\ell|<\varepsilon $£
Cosa significa tutta sta roba? Traducendo dal “matematichese” diremo che una successione a valori reali ha limite finito £$\ell$£ se, scelto comunque un numero positivo e piccolo a piacere (il famoso £$\varepsilon$£), da un certo punto in poi i termini della successione saranno distanti dal limite £$\ell$£ meno di £$\varepsilon$£ (£$|x_n - \ell|$£ indica la distanza dei termini da £$\ell$£).
Se una successione ha limite finito, diciamo che la successione è convergente.
Quando una successione è convergente, possiamo scrivere:
£$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} x_n=\ell $£ che si legge “il limite di £$x_n$£ per £$n$£ che tende a più infinito è uguale a £$\ell$£”
Esempi di successioni convergenti
- £$a_n=e^{-n}$£ converge a £$0$£
- £$b_n=\frac{3n-2}{3-n}$£ converge a £$-3$£
- £$c_n=\frac{\text{sen }{n}}{n}$£ converge a £$0$£
Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.
Successioni divergenti
Ovviamente, esistono successioni che hanno limite infinito. Una successione a valori reali £$x_n$£ ha limite £$+\infty$£ se:
£$\forall M>0 \:\exists N=N(M)\text{ tale che }\forall n>N\text{ vale che }x_n>M$£
Allo stesso modo, una successione £$x_n$£ ha limite £$-\infty$£ se: £$\forall M>0 \:\exists N=N(M)\text{ tale che }\forall n>N\text{ vale che }x_n<-M$£
Se una successione ha limite infinito, diremo che la successione è divergente.
Esempi di successioni divergenti:
- £$d_n=\ln n$£
- £$e_n=n^{\alpha} \ $£ £$\forall \alpha>0$£
Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.
Successioni oscillanti
Come per le funzioni, anche per le successioni può capitare che il limite non esista. Prendiamo ad esempio la successione £$x_{n}=(-1)^n$£. Come sono fatti i suoi termini? Beh se £$n$£ è pari allora avremo £$1$£ se invece £$n$£ è dispari £$-1$£. Quindi a quale valore tende? £$1$£ o £$-1$£?
La risposta è: “a nessuno dei due!”. Quindi il limite della successione non esiste. La successione è quindi oscillante.
Allora possiamo dividere le successioni in due grandi gruppi:
- successioni regolari: il limite per £$n\to +\infty$£ esiste (finito o infinito);
- successioni irregolari: il limite per £$n\to +\infty$£ non esiste.
Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.
