Infiniti e infinitesimi

Vediamo due tipi particolari di successioni, gli infiniti e gli infinitesimi.

Una successione £$ x_n $£ a valori reali è un infinito se per £$n\rightarrow +\infty$£ vale che £$x_n\rightarrow +\infty$£ oppure £$x_n\rightarrow -\infty$£.

Una successione £$ x_n $£ a valori reali è un infinitesimo se per £$n\rightarrow +\infty$£ vale che £$x_n\rightarrow 0$£

Questi due tipi di successioni sono molto utili nel calcolo dei limiti. Possiamo immaginarci di creare una “classifica” tra gli infiniti e una tra gli infinitesimi, in base alla loro "velocità" nell'arrivare al limite. Saranno “più forti” gli infiniti che vanno all’infinito “più velocemente” e saranno “più forti” gli infinitesimi che vanno a zero “più velocemente”.

Definizione. Siano £$ x_n $£ e £$ y_n $£ due infiniti. Diremo che:

• £$ x_n$£ è un infinito di ordine superiore rispetto a £$ y_n $£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow +\infty$£ per £$n\rightarrow +\infty$£;
• £$ x_n$£ è un infinito dello stesso ordine di £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow L$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, con £$L$£ valore finito non nullo;
• £$ x_n$£ è un infinito di ordine inferiore rispetto a £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow 0$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

ESEMPI: se prendiamo le successioni del tipo £$a_n=\ln{n^{\alpha}}$£ con £$\alpha>0$£, ci troviamo senz’altro di fronte a degli infiniti. Forse potrà sembrarti un po’ strano ma stiamo parlando di infiniti che sono tutti dello stesso ordine! Consideriamo £$a_n=\ln{n^{\alpha}}$£ e £$b_n=\ln{n^{\beta}}$£. Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi e troviamo:

£$\left|\frac{a_n}{b_n}\right|=\frac{\ln{n^{\alpha}}}{\ln{n^{\beta}}}=\frac{\alpha\ln{n}}{\beta\ln{n}}=\frac{\alpha}{\beta}\rightarrow\frac{\alpha}{\beta}$£, ma £$\frac{\alpha}{\beta}$£ è un numero reale non nullo, quindi le due successioni in questione sono infiniti dello stesso ordine!

Passiamo adesso agli infinitesimi. Avremo una definizione speculare alla precedente.

Definizione. Siano £$ x_n $£ e £$ y_n $£ due infinitesimi. Diremo che:

• £$ x_n$£ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow 0$£ per £$n\rightarrow +\infty$£;
• £$ x_n$£ è un infinitesimo di ordine uguale rispetto a £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow L$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, con £$L$£ valore finito non nullo;
• £$ x_n$£ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow +\infty$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

Gli infinitesimi saranno di fatto le successioni che si scrivono come reciproche di infiniti. Sono infinitesimi successioni come £$a_n=\frac{1}{\ln {n}}$£, £$b_n=\mathit{e}^{-n}$£ e così via. Naturalmente una volta stabilita la gerarchia tra gli infiniti, risulta abbastanza semplice creare la gerarchia tra gli infinitesimi. Basta di fatto di ribaltare quello che sappiamo sugli infiniti. Ad esempio se ammettiamo di sapere (cosa vera) che la successione £$c_n=n$£ sia un infinito di ordine superiore rispetto a £$d_n=\ln n$£, allora avremo che la successione £$\bar{c}_n=\frac{1}{n}$£ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a £$\bar{d}_n=\frac{1}{\ln {n}}$£. Infatti sappiamo che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{\ln n}=+\infty$£, quindi £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{\ln n}}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\ln n}{n}=0$£, ovvero quello che volevamo dimostrare!

Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.

Come capire se una successione è un infinito oppure un infinitesimo? Ci viene in aiuto un metodo molto utile, il criterio del rapporto!

Teorema (criterio del rapporto). Sia £$x_n$£ una successione tale che £$x_n>0\;\forall n\in\mathbb{N}$£:

• se £$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \alpha < 1$£ allora £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=0$£ cioè £$x_{n}$£ è un infinitesimo;
• se £$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}= \beta > 1$£ allora £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=+\infty$£ cioè £$x_{n}$£ è un infinito.

Attenzione! Il criterio del rapporto non dice nulla nel caso in cui valga £$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$£. In questi casi dovremo usare altri metodi (tipo il calcolo diretto del limite della successione).

Il criterio del rapporto è utile quando non sappiamo calcolare direttamente il limite della successione £$x_n$£, mentre risulta più semplice calcolare il limite del rapporto.

ESEMPIO: vogliamo calcolare £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^{n}}{n!}=+\infty$£. Visto che il calcolo del limite della successione £$x_n=\frac{n^n}{n!}$£ non è immediato, proviamo a usare il criterio del rapporto. Nel nostro caso la successione £$\frac{x_{n+1}}{x_n}$£ ha come termine generale

£$\frac{{(n+1)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^{n}}$£

Ricordiamoci che vale £$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$£. Possiamo semplificare!

£$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{{(n+1)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^{n}}=$££$\frac{{(n+1)}^{n+1}}{(n+1)\cdot n!}\cdot \frac{n!}{n^{n}}=$££$\frac{{(n+1)}^{n}}{n^{n}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$£

Si tratta di una successione nota! È proprio quella che definisce il numero £$\mathit{e}$£ di Nepero. Insomma abbiamo trovato che £$\frac{x_{n+1}}{x_n}\rightarrow \mathit{e} > 1$£, quindi per il criterio del rapporto vale senza dubbio che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^n}{n!}=+\infty$£

Mostriamo ora che £$\lim\limits_{n\rightarrow}\frac{c^{n}}{n^{\beta}}=+\infty$£ se vale che £$c>1$£ e che £$\beta>0$£. In questo caso abbiamo

£$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{c^{n+1}}{{(n+1)}^{\beta}}\cdot\frac{n^{\beta}}{c^{n}}$£

Semplifichiamo un po':

£$\frac{c^{n+1}}{{(n+1)}^{\beta}}\cdot\frac{n^{\beta}}{c^{n}}=\frac{c\cdot n^{\beta}}{{(n+1)}^{\beta}}=c\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\beta}=\frac{c}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\beta}}$£

A questo punto, si vede abbastanza facilmente che il denominatore della frazione ottenuta tende a £$1$£ e ciò implica che

£$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{c}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\beta}}=c$£

Ma per ipotesi si era detto che £$c>1$£, quindi per il criterio del rapporto avremo £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{c^{n}}{n^{\beta}}=+\infty$£.

Possiamo concludere che una crescita esponenziale sarà sempre superiore ad una crescita “polinomiale”!

Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.

Qual è il rapporto tra infiniti? Quale infinito ha ordine maggiore? Quale invece è il più lento?

Vediamo la scala degli infiniti (cioè la loro gerarchia), in modo da rendere il calcolo dei limiti più facile e veloce. Abbiamo ordinato queste “successioni campione” in modo che da sinistra a destra compaiano prima gli infiniti di ordine superiore e via via quelli di ordine inferiore:

£$n^{n}>> n!>> c^{n} \ (\forall c>1) >> n^{\beta} \ (\forall \beta>0) >> {(\ln n)}^{\alpha} \ (\forall \alpha>0)$£

Cosa significa? Beh sappiamo che il logaritmo è la funzione più lenta ad andare a infinito, quindi il limite di un logaritmo fratto una potenza di £$n$£ andrà a £$0$£.

ESEMPI:

£$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^{n}}{n^{457247}}=+\infty$£

£$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt[235]{n}}{{(\ln n)}^{235}}=+\infty$£

£$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{34^{n}}{n!}=0$£

Per la scala degli infinitesimi possiamo considerare i reciproci delle successioni viste ora, ma dobbiamo cambiare l'ordine. Per gli infinitesimi quindi abbiamo:

£$\frac{1}{n^{n}} << \frac{1}{n!} << \frac{1}{c^{n}} \ (\forall c>1) << \frac{1}{n^{\beta}} \ (\forall \beta>0) << \frac{1}{{(\ln n)}^{\alpha}} \ (\forall \alpha>0)$£

Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.