Infiniti e infinitesimi, “o-piccolo” e “asintotico”, limiti notevoli

Ecco alcuni strumenti utili per risolvere le forme indeterminate. Faremo una classifica tra le successioni divergenti per capire quali sono quelle “dominanti” sfruttando il cosiddetto criterio del rapporto. Vedremo anche le relazioni di “o-piccolo” e “asintotico”. Concluderemo in bellezza con i temuti ma fondamentali limiti notevoli!

2019-04-03 08:59:50

Ora siamo pronti per acquisire strumenti ancora più fini e avanzati per il calcolo dei limiti di successioni.
Acquisiremo il concetto di infinito e infinitesimo relativamente alle successioni e impareremo a mettere in scala gli infiniti e gli infinitesimi utilizzando il criterio del rapporto: a partire dalla natura della successione £$\frac{x_{n+1}}{x_n}$£ esso ci permette di risalire al comportamento della successione £$x_n$£.

Introdurremo tra la successioni reali due relazioni di cui almeno alla scuola superiore di solito non si parla e che quindi potresti non aver ancora incontrato: si tratta delle relazioni di o-piccolo e asintotico, che ci consentono di semplificare ulteriormente il calcolo dei limiti.
Lo scopo è sempre lo stesso: calcolare il limite di una successione difficile da trattare servendosi di strumenti che possano permetterci di ricondurci a casi più semplici e già considerati.
Infine ci occuperemo dei cosiddetti limiti notevoli, inquadrandoli in un contesto forse per te nuovo. Infatti faremo un cenno al rapporto che esiste tra limiti di funzioni e limiti di successioni e rileggeremo i limiti notevoli alla luce di quanto visto su o-piccolo e asintotico.

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Cosa sono gli infiniti e gli infinitesimi

Vediamo due tipi particolari di successioni, gli infiniti e gli infinitesimi.

Una successione £$ x_n $£ a valori reali è un infinito se per £$n\rightarrow +\infty$£ vale che £$x_n\rightarrow +\infty$£ oppure £$x_n\rightarrow -\infty$£.

Una successione £$ x_n $£ a valori reali è un infinitesimo se per £$n\rightarrow +\infty$£ vale che £$x_n\rightarrow 0$£

Questi due tipi di successioni sono molto utili nel calcolo dei limiti. Possiamo immaginarci di creare una “classifica” tra gli infiniti e una tra gli infinitesimi, in base alla loro "velocità" nell'arrivare al limite. Saranno “più forti” gli infiniti che vanno all’infinito “più velocemente” e saranno “più forti” gli infinitesimi che vanno a zero “più velocemente”.

Definizione. Siano £$ x_n $£ e £$ y_n $£ due infiniti. Diremo che:

  • £$ x_n$£ è un infinito di ordine superiore rispetto a £$ y_n $£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow +\infty$£ per £$n\rightarrow +\infty$£;
  • £$ x_n$£ è un infinito dello stesso ordine di £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow L$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, con £$L$£ valore finito non nullo;
  • £$ x_n$£ è un infinito di ordine inferiore rispetto a £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow 0$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

ESEMPI: se prendiamo le successioni del tipo £$a_n=\ln{n^{\alpha}}$£ con £$\alpha>0$£, ci troviamo senz’altro di fronte a degli infiniti. Forse potrà sembrarti un po’ strano ma stiamo parlando di infiniti che sono tutti dello stesso ordine! Consideriamo £$a_n=\ln{n^{\alpha}}$£ e £$b_n=\ln{n^{\beta}}$£. Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi e troviamo:

£$\left|\frac{a_n}{b_n}\right|=\frac{\ln{n^{\alpha}}}{\ln{n^{\beta}}}=\frac{\alpha\ln{n}}{\beta\ln{n}}=\frac{\alpha}{\beta}\rightarrow\frac{\alpha}{\beta}$£, ma £$\frac{\alpha}{\beta}$£ è un numero reale non nullo, quindi le due successioni in questione sono infiniti dello stesso ordine!

Passiamo adesso agli infinitesimi. Avremo una definizione speculare alla precedente.

Definizione. Siano £$ x_n $£ e £$ y_n $£ due infinitesimi. Diremo che:

  • £$ x_n$£ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow 0$£ per £$n\rightarrow +\infty$£;
  • £$ x_n$£ è un infinitesimo di ordine uguale rispetto a £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow L$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, con £$L$£ valore finito non nullo;
  • £$ x_n$£ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a £$ y_n$£ se vale £$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\rightarrow +\infty$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

Gli infinitesimi saranno di fatto le successioni che si scrivono come reciproche di infiniti. Sono infinitesimi successioni come £$a_n=\frac{1}{\ln {n}}$£, £$b_n=\mathit{e}^{-n}$£ e così via. Naturalmente una volta stabilita la gerarchia tra gli infiniti, risulta abbastanza semplice creare la gerarchia tra gli infinitesimi. Basta di fatto di ribaltare quello che sappiamo sugli infiniti. Ad esempio se ammettiamo di sapere (cosa vera) che la successione £$c_n=n$£ sia un infinito di ordine superiore rispetto a £$d_n=\ln n$£, allora avremo che la successione £$\bar{c}_n=\frac{1}{n}$£ è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a £$\bar{d}_n=\frac{1}{\ln {n}}$£. Infatti sappiamo che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{\ln n}=+\infty$£, quindi £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{\ln n}}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\ln n}{n}=0$£, ovvero quello che volevamo dimostrare!

Criterio del rapporto

Come capire se una successione è un infinito oppure un infinitesimo? Ci viene in aiuto un metodo molto utile, il criterio del rapporto!

Teorema (criterio del rapporto). Sia £$x_n$£ una successione tale che £$x_n>0\;\forall n\in\mathbb{N}$£:

  • se £$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \alpha < 1$£ allora £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=0$£ cioè £$x_{n}$£ è un infinitesimo;
  • se £$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}= \beta > 1$£ allora £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=+\infty$£ cioè £$x_{n}$£ è un infinito.

Attenzione! Il criterio del rapporto non dice nulla nel caso in cui valga £$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}=1$£. In questi casi dovremo usare altri metodi (tipo il calcolo diretto del limite della successione).

Il criterio del rapporto è utile quando non sappiamo calcolare direttamente il limite della successione £$x_n$£, mentre risulta più semplice calcolare il limite del rapporto.

ESEMPIO: vogliamo calcolare £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^{n}}{n!}=+\infty$£. Visto che il calcolo del limite della successione £$x_n=\frac{n^n}{n!}$£ non è immediato, proviamo a usare il criterio del rapporto. Nel nostro caso la successione £$\frac{x_{n+1}}{x_n}$£ ha come termine generale

£$\frac{{(n+1)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^{n}}$£

Ricordiamoci che vale £$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$£. Possiamo semplificare!

£$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{{(n+1)}^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{n^{n}}=$££$\frac{{(n+1)}^{n+1}}{(n+1)\cdot n!}\cdot \frac{n!}{n^{n}}=$££$\frac{{(n+1)}^{n}}{n^{n}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$£

Si tratta di una successione nota! È proprio quella che definisce il numero £$\mathit{e}$£ di Nepero. Insomma abbiamo trovato che £$\frac{x_{n+1}}{x_n}\rightarrow \mathit{e} > 1$£, quindi per il criterio del rapporto vale senza dubbio che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^n}{n!}=+\infty$£

Mostriamo ora che £$\lim\limits_{n\rightarrow}\frac{c^{n}}{n^{\beta}}=+\infty$£ se vale che £$c>1$£ e che £$\beta>0$£. In questo caso abbiamo

£$\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{c^{n+1}}{{(n+1)}^{\beta}}\cdot\frac{n^{\beta}}{c^{n}}$£

Semplifichiamo un po':

£$\frac{c^{n+1}}{{(n+1)}^{\beta}}\cdot\frac{n^{\beta}}{c^{n}}=\frac{c\cdot n^{\beta}}{{(n+1)}^{\beta}}=c\cdot\left(\frac{n}{n+1}\right)^{\beta}=\frac{c}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\beta}}$£

A questo punto, si vede abbastanza facilmente che il denominatore della frazione ottenuta tende a £$1$£ e ciò implica che

£$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{c}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\beta}}=c$£

Ma per ipotesi si era detto che £$c>1$£, quindi per il criterio del rapporto avremo £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{c^{n}}{n^{\beta}}=+\infty$£.

Possiamo concludere che una crescita esponenziale sarà sempre superiore ad una crescita “polinomiale”!

Gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi

Qual è il rapporto tra infiniti? Quale infinito ha ordine maggiore? Quale invece è il più lento?

Vediamo la scala degli infiniti (cioè la loro gerarchia), in modo da rendere il calcolo dei limiti più facile e veloce. Abbiamo ordinato queste “successioni campione” in modo che da sinistra a destra compaiano prima gli infiniti di ordine superiore e via via quelli di ordine inferiore:

£$n^{n}>> n!>> c^{n} \ (\forall c>1) >> n^{\beta} \ (\forall \beta>0) >> {(\ln n)}^{\alpha} \ (\forall \alpha>0)$£

Cosa significa? Beh sappiamo che il logaritmo è la funzione più lenta ad andare a infinito, quindi il limite di un logaritmo fratto una potenza di £$n$£ andrà a £$0$£.

ESEMPI:

£$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^{n}}{n^{457247}}=+\infty$£

£$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sqrt[235]{n}}{{(\ln n)}^{235}}=+\infty$£

£$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{34^{n}}{n!}=0$£

Per la scala degli infinitesimi possiamo considerare i reciproci delle successioni viste ora, ma dobbiamo cambiare l'ordine. Per gli infinitesimi quindi abbiamo:

£$\frac{1}{n^{n}} << \frac{1}{n!} << \frac{1}{c^{n}} \ (\forall c>1) << \frac{1}{n^{\beta}} \ (\forall \beta>0) << \frac{1}{{(\ln n)}^{\alpha}} \ (\forall \alpha>0)$£

o-piccoli nelle successioni

Come abbiamo fatto per i limiti di funzioni, anche tra le successioni possiamo definire gli o-piccolo.

Definizione. Siano £$x_n$£ e £$y_n$£ due successioni a valori reali tali che £$y_n\neq 0\;\forall n\in\mathbb{N}$£. Diciamo che £$x_n$£ è “o-piccolo” di £$y_n$£ se vale £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{x_n}{y_n}=0$£. In questo caso, scriviamo £$x_n=o(y_n)$£.

Cosa significa? Dal punto di vista del significato, affermare che £$x_n$£ è “o-piccolo” di £$y_n$£ vuol dire che la successione £$x_n$£ risulta in qualche maniera trascurabile rispetto alla successione £$y_n$£, almeno per quanto riguarda il calcolo dei limiti. Infatti immaginiamo di calcolare il limite della successione £$a_n=y_n+x_n$£ dove £$x_n=o(y_n)$£ e £$y_n$£ è una successione regolare (cioè ammette limite).
Possiamo scrivere £$a_n=y_n+o(y_n)=y_n\cdot\left(1+\frac{o(y_n)}{y_n}\right)$£. Sicuramente vale che £$\left(1+\frac{\mathit{o}(y_n)}{y_n}\right)\rightarrow 1$£ per £$n\rightarrow +\infty$£ per definizione di “o-piccolo”, e quindi possiamo affermare, per il teorema sul calcolo dei limiti, che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n+\mathit{o}(y_n)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n$£.

Questo fatto ci può aiutare a rendere molto più rapida la risoluzione delle forme di indecisione del tipo £$[+\infty -\infty]$£!

ESEMPIO: consideriamo le successioni £$x_n=-\sqrt{n}$£ e £$y_n=n^{3}$£. Siccome £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{-\sqrt{n}}{n^{3}}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}-\left(n^{-\frac{5}{2}}\right)=0$£, potremo scrivere, in base alla definizione appena data, che £$\sqrt{n}=\mathit{o}(n^{3})$£.

Quanto vale allora il limite della successione £$b_n=-\sqrt{n}+n^{3}$£?

Sappiamo che £$b_n=-\sqrt{n}+n^{3}=\mathit{o}(n^{3})+n^{3}\rightarrow +\infty$£ perché £$n^{3}\rightarrow +\infty$£! La scala degli infiniti che abbiamo visto prima può essere interpretata nel modo seguente:

$${(\ln n)}^{\alpha}=\mathit{o}(n^{\beta})=\mathit{o}(c^{n})=\mathit{o}(n!)=\mathit{o}(n^{n})$$ dove ovviamente dobbiamo come al solito specificare che £$\alpha,\:\beta>0$£ e che £$c>1$£.

È possibile definire una sorta di “algebra di o-piccolo”, cioè le operazioni che valgono con gli o-piccolo:

  1. data una successione £$a_n$£ vale che se £$a_n=\mathit{o}(1)$£ allora sicuramente £$a_n\rightarrow 0$£ e viceversa. Infatti, per definizione, avremmo che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{\frac{a_n}{1}}=0$£;
  2. £$\pm\mathit{o}(a_n)=\mathit{o}(a_n)$£, il segno è indifferente;
  3. £$\mathit{o}(a_n)\pm\mathit{o}(a_n)=\mathit{o}(a_n)$£ gli “o-piccoli” NON si cancellano;
  4. £$c\cdot\mathit{o}(a_n)=\mathit{o}(c\cdot a_n)=\mathit{o}(a_n)$£ i coefficienti numerici risultano indifferenti.

Siano ora £$b_n$£ e £$c_n$£ altre due successioni, allora vale che:

  1. £$b_n\cdot\mathit{o}(a_n)=\mathit{o}(b_n\cdot a_n)$£ la relazione di “o-piccolo” si comporta bene rispetto al prodotto;
  2. se £$a_n=\mathit{o}(b_n)$£ e £$b_n=\mathit{o}(c_n)$£ allora vale che £$a_n=\mathit{o}(c_n)$£, la relazione di “o-piccolo” è transitiva;
  3. dal punto precedente segue che £$\mathit{o}(\mathit{o}(a_n))=\mathit{o}(a_n)$£ vale infine che £$\mathit{o}(a_n+\mathit{o}(a_n))=\mathit{o}(a_n)$£.

ESEMPIO: calcoliamo il limite della successione £$a_n=\mathit{e}^{\sqrt{n}}\cdot(3n^{2}-(\ln n)^{4})-4\mathit{e}^{n}$£.
Per quanto detto sulla scala degli infiniti abbiamo che £$(\ln n)^{4}=\mathit{o}(3n^{2})=\mathit{o}(n^{2}) $£ e che £$3n^{2}=\mathit{o}(\mathit{e}^{\sqrt{n}})=\mathit{o}({(\sqrt{\mathit{e}})}^{n})$£

Quindi potremo scrivere che:

£$a_n=\mathit{e}^{\sqrt{n}}\cdot(3n^{2}-(\ln n)^{4})-4\mathit{e}^{n}= $£ £$ \mathit{e}^{\sqrt{n}}\cdot(3n^{2}+\mathit{o}(n^{2}))-4\mathit{e}^{n}= $£ £$ \mathit{e}^{\sqrt{n}}\cdot\mathit{o}(\mathit{e}^{\sqrt{n}})-4\mathit{e}^{n}= $£ £$ \mathit{o}(\mathit{e}^{2\sqrt{n}})-4\mathit{e}^{n}$£

Ora evidentemente £$\mathit{e}^{2\sqrt{n}}=\mathit{o}(\mathit{e}^{n})$£ (provare per credere!) quindi alla fine avremo £$a_n=-4\mathit{e}^{n}+\mathit{o}(\mathit{e}^{n})$£ e quindi possiamo affermare che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{a_n}=-\infty$£.

Limiti con “asintotico”

La seconda relazione che introduciamo tra le successioni è quella di “asintotico”. Vedremo presto che esistono rapporti stretti tra “o-piccolo” e “asintotico”.

Definizione. Siano £$x_n$£ e £$y_n$£ due successioni a valori reali e tali che £$x_n,\:y_n\neq 0\:\forall n\in\mathbb{N}$£. Si dice che £$x_n$£ è asintotico a £$y_n$£ se vale che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{\frac{x_n}{y_n}}=1$£. In tal caso si scrive £$x_n\sim y_n$£.

Notiamo innanzitutto che la relazione di asintotico, risulta una relazione di equivalenza:

  • è riflessiva, infatti £$x_n\sim x_n$£ poiché £$\frac{x_n}{x_n}=1\to1$£;
  • simmetrica, infatti se £$x_n\sim y_n$£ allora £$y_n\sim x_n$£, perché se £$\frac{x_n}{y_n}\to1$£ allora £$\frac{y_n}{x_n}\to1$£;
  • è anche transitiva, infatti se £$x_n\sim y_n$£ e £$y_n\sim z_n$£ allora £$x_ n\sim z_n$£. Infatti avremo che £$\frac{x_n}{z_n}=\frac{x_n}{y_n}\cdot\frac{y_n}{z_n}\to1$£ visto che £$\frac{x_n}{y_n}\to1$£ e £$\frac{y_n}{z_n}\to1$£ per le ipotesi che abbiamo dato.

Vale inoltre un altro fatto: se £$x_n\sim y_n$£ e sappiamo che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{x_n}=\alpha$£, allora sicuramente varrà che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{y_n}=\alpha$£.
Insomma se abbiamo due successioni asintotiche di cui una è regolare, allora sono entrambe regolari e ammettono lo stesso limite (finito o infinito)!
Infatti avremo che £$x_n=\frac{x_n}{y_n}\cdot{y_n}\to\alpha$£. Ma siccome sappiamo che £$\frac{x_n}{y_n}\to1$£, allora necessariamente £$y_n\to\alpha$£.

Attenzione! Non vale in nessun modo il viceversa: se due successioni ammettono lo stesso limite non è assolutamente detto che esse siano asintotiche!

ESEMPI:

  • le successioni £$a_n=n^{3}-5n+2$£ e £$b_n=n^3$£ sono asintotiche. Infatti £$\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^{3}-5n+2}{n^3}\to 1$£ per quanto abbiamo già visto sui limiti di rapporti di polinomi;
  • le successioni £$c_n=\ln{(n+4)}$£ e £$d_n=\ln{n}$£ sono asintotiche. Infatti £$\frac{c_n}{d_n}=\frac{\ln{(n+4)}}{\ln n}=\frac{\ln{\left[n\cdot\left(1+\frac{4}{n}\right)\right]}}{\ln n}=\frac{\ln{n}+\ln{\left(1+\frac{4}{n}\right)}}{\ln n}=1+\frac{\ln{\left(1+\frac{4}{n}\right)}}{\ln n}\to 1$£ per £$n\to +\infty$£. Sappiamo che £$\frac{\ln{\left(1+\frac{4}{n}\right)}}{\ln n}\to 0$£ perché il numeratore tende a zero mentre il denominatore tende a più infinito.

Passiamo ora al rapporto che sussiste tra le relazioni di “o-piccolo” e di “asintotico”. Vediamolo scritto in “matematichese”:

£$x_n\sim y_n\Leftrightarrow x_n=y_n+\mathit{o}(y_n)$£

Se vale £$x_n=y_n+\mathit{o}(y_n)$£ avremo che £$\frac{x_n}{y_n}=\frac{y_n+\mathit{o}(y_n)}{y_n}=1+\frac{\mathit{o}(y_n)}{y_n}\to 1$£ poiché per definizione vale £$\frac{\mathit{o}(y_n)}{y_n}\to 0$£. Quindi vale £$x_n\sim y_n$£.
Viceversa se vale £$x_n\sim y_n$£ potremo scrivere che £$\frac{x_n}{y_n}=1+\mathit{o}(1)$£ e moltiplicando a destra e sinistra per £$y_n$£ otterremo esattamente che £$x_n=y_n+\mathit{o}(y_n)$£.

La differenza tra due successioni tra loro asintotiche è tale da essere trascurabile rispetto alle stesse. Questo risulta evidente se ricordiamo che due successioni asintotiche e regolari hanno lo stesso limite!

Un’ultima annotazione: la relazione di asintotico si “comporta bene” con prodotti (e quozienti). Se abbiamo una successione del tipo £$x_n=a_n\cdot b_n$£ e sappiamo che £$b_n\sim c_n$£, allora varrà anche che £$x_n\sim y_n$£ dove £$y_n=a_n\cdot c_n$£. Ai fini del calcolo del limite della successione £$x_n$£ possiamo tranquillamente servirci della successione £$y_n$£, se risulta più facile da affrontare!
In generale, però, se abbiamo a che fare con somme, esponenziali o logaritmi (ecc. …) NON è possibile sostituire un termine di una successione con un altro ad esso asintotico ed essere sicuri che il limite dell’intera successione resti immutato!
Ad esempio non vale in generale che se £$a_n\sim b_n$£ allora £$\mathit{e}^{a_n}\sim \mathit{e}^{b_n}$£. Prova a verificarlo con £$a_n=n+1$£ e £$b_n=n$£.

Limiti notevoli di successioni

I limiti notevoli sono limiti di successioni che risolvono in generale delle forme di indecisione del tipo £$\left[\frac{0}{0}\right]$£. Questi limiti danno informazioni sul comportamento di funzioni trascendenti come esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche.
La dimostrazione del perché valgano tali limiti notevoli è riportata nella sezione dedicata ai limiti di funzioni.

Ti chiederai probabilmente come sia possibile far dialogare limiti di funzioni e limiti di successioni: perché un risultato valido sui limiti di funzioni è valido anche sui limiti di successioni? Ecco l’enunciato di un teorema che giustifica il passaggio da limiti di successioni a limiti di funzioni e viceversa.

Teorema (limiti di funzioni e limiti di successioni). Sia £$I\subset\mathbb{R}$£ un intervallo di qualsiasi natura. Siano £$\mathit{f}:I\to\mathbb{R}$£ e £$p\in I$£ (oppure £$ p=\pm\infty $£ se l’intervallo £$ I $£ è almeno una semiretta dell’asse reale), allora sono equivalenti:

  1. £$\lim\limits_{x\to p} {\mathit{f}(x)}=L$£
  2. £$\lim\limits_{n\to +\infty}{\mathit{f}(x_n)}=L$£ per ogni successione £$x_n$£ che verifica: £$x_n\neq p$£, £$x_n\in I$£, £$x_n\to p$£ per £$n\to +\infty$£

Quindi se conosciamo il limite della funzione per £$x\to p$£, possiamo essere sicuri che, se al posto della variabile £$x$£ sostituiamo i termini di una successione che tende a £$p$£ e calcoliamo il limite per £$n\to +\infty$£, il valore del limite stesso non cambia!

Se sappiamo che £$\lim\limits_{x\to 0^{+}}{\ln x}=-\infty$£, allora presa una qualunque successione che tende a £$0^{+}$£, come ad esempio £$x_n=\frac{1}{n}$£, possiamo sicuramente dire che £$\lim\limits_{n\to +\infty}\ln{\left(\frac{1}{n}\right)}=-\infty$£.

Passando ai limiti notevoli, sicuramente ti sarai imbattuto nel famigerato calcolo del £$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\text{sen }x}{x}=1$£. Adesso, grazie al teorema appena visto, siamo in grado di dire che, presa una qualsiasi successione £$\epsilon_n$£ che sia un infinitesimo (cioè £$\epsilon_n\to 0$£ per £$n\to +\infty$£), sicuramente £$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\text{sen}(\epsilon_n)}{\epsilon_n}=1$£

Per quanto abbiamo detto prima sulle relazioni tra “o-piccolo” e “asintotico”, possiamo scrivere senza paura che £$\text{sen}{(\epsilon_n)}\sim\epsilon_n$£ e che quindi £$\text{sen}{(\epsilon_n)}=\epsilon_n+\mathit{o}(\epsilon_n)$£.

Proviamo a calcolare il limite di una successione del tipo £$a_n=\text{sen}\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\cdot{\ln{n}}$£. Possiamo scrivere direttamente: £$a_n= \text{sen} \left(\frac{1}{n^{3}}\right)\cdot{\ln{n}}\sim \frac{\ln n}{n^{3}}\to 0$£ per £$n\to +\infty$£.
Lavorare con l’asintotico è lecito perché ci troviamo di fronte ad un prodotto e l’ultimo passaggio vale per quanto visto sul confronto tra infiniti! In un attimo abbiamo ottenuto che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{a_n}=0$£ risolvendo la forma di indecisione £$[0\cdot +\infty]$£ che caratterizzava inizialmente la successione £$a_n$£!

Passiamo ora ad un elenco completo dei limiti notevoli: ricordati che ognuno di essi può essere riletto usando “o-piccolo” a “asintotico” come abbiamo fatto nel caso £$\frac{\text{sen}(\epsilon_n)}{\epsilon_n}$£.
Preso £$\epsilon_n$£ un qualsiasi infinitesimo, allora:

  • £$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\text{sen}(\epsilon_n)}{\epsilon_n}=1$£
  • £$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1-\text{cos }(\epsilon_n)}{{(\epsilon_n)}^2}=\frac{1}{2}$£
  • £$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\text{tg}(\epsilon_n)}{\epsilon_n}=1$£
  • £$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\text{arctg}(\epsilon_n)}{\epsilon_n}=1$£
  • £$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\ln(1+\epsilon_n)}{\epsilon_n}=1$£
  • £$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{\mathit{e}^{\epsilon_n}-1}{\epsilon_n}=1$£
  • £$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{{(1+\epsilon_n)}^{\alpha}-1}{\alpha\cdot\epsilon_n}=1$£

Non ci resta ora che vedere qualche esempio di calcolo di limiti di successioni in cui impieghiamo tutte le tecniche viste finora, in particolare limiti notevoli, “o-piccolo” e “asintotico”.

ESEMPI
  1. £$a_n=n\cdot \left(\text{tg}\left( \frac{3}{n}\right)-\text{sen}\left(\frac{3}{n}\right)\right)$£
    Per calcolare £$\lim\limits_{n\to +\infty}a_n$£ sfruttiamo quanto appena visto sui limiti notevoli. Abbiamo che £$\text{tg}\left(\frac{3}{n}\right)=\frac{3}{n}+\mathit{o}\left(\frac{3}{n}\right)$£ e che £$\text{sen}\left(\frac{3}{n}\right)=\frac{3}{n}+\mathit{o}\left(\frac{3}{n}\right)$£.
    Quindi possiamo scrivere che:
    $$a_n=n\cdot \left(\frac{3}{n}-\frac{3}{n}+\mathit{o}\left(\frac{3}{n}\right)\right)=n\cdot\mathit{o}\left(\frac{1}{n}\right)=\mathit{o}(1)\to 0$$
    Infatti £$a_n=\mathit{o}(1)$£ implica che £$\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0$£. All’interno della parentesi non erano coinvolti prodotti, quindi abbiamo prudentemente evitato di usare l’asintotico! Se qualche passaggio non ti è chiaro riguarda l’algebra degli o-piccoli!
  2. £$b_n={(1+n^{2})}^{\frac{2}{\ln n}}$£
    Notiamo subito che ci troviamo nella situazione di una forma di indecisione del tipo £$[{+\infty}^{0}]$£. Per affrontarla (e di fatto evitarla!) utilizziamo il metodo che abbiamo già visto nella lezione sul calcolo dei limiti di una successione: riscriviamo la nostra successione in maniera furba come £$b_n=\mathit{e}^{\frac{2\ln{(1+n^{2})}}{\ln n}}$£ e studiamo come si comporta l’esponente, cioè studiamo la successione £$x_n=\frac{2\ln{(1+n^{2})}}{\ln n}$£.
    $$x_n=\frac{2\ln{(1+n^{2})}}{\ln n}=\frac{2\ln{\left(n^{2}\cdot\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\right)}}{\ln n}=\frac{4\ln{n}+2\ln{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}}{\ln n}=4+\frac{2\ln{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}}{\ln n}\sim 4+\frac{2}{n^2\cdot\ln n}\to 4$$ per £$n\to +\infty$£.
    I passaggi che abbiamo eseguito coinvolgono un utilizzo furbo delle proprietà dei logaritmi che ci permette in seguito di utilizzare il limite notevole per cui £$\ln{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}\sim\frac{1}{n^2}$£. Infine ti sarà ormai chiaro che £$\frac{2}{n^2\cdot\ln n}\to 0$£ per £$n\to +\infty$£. Quindi avremo che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{b_n}=\lim\limits_{n\to +\infty}{\mathit{e}^{x_n}}=\mathit{e}^{4}$£.

Esercizi di Infiniti e infinitesimi, “o-piccolo” e “asintotico”, limiti notevoli - 1

Esercizi di Infiniti e infinitesimi, “o-piccolo” e “asintotico”, limiti notevoli - 2

Esercizi di Infiniti e infinitesimi, “o-piccolo” e “asintotico”, limiti notevoli - 3

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