Limiti di successioni: forme indeterminate

Consideriamo la prima forma di indecisione £$[+\infty -\infty ]$£ e facciamo vedere che, a seconda dei casi, possono succedere cose ben distinte, ovvero che siamo proprio di fronte ad una forma di indecisione!

ESEMPIO: se prendiamo £$a_n=n^{3}$£ e £$b_n=-n$£, abbiamo che £$a_n\rightarrow +\infty$£ e che £$b_n\rightarrow -\infty$£. In questo caso la successione £$a_n+b_n=n^{3}-n\rightarrow +\infty$£ perché il cubo £$(n^{3})$£ predomina.
Se prendiamo £$a_n=-b_n+5$£, con £$a_n\rightarrow +\infty$£, allora la successione £$a_n+b_n=5\:\forall n\in\mathbb{N}$£ tende inevitabilmente a £$5$£, essendo costante!

In generale possono accadere situazioni meno semplici in cui occorrerà imparare trucchi e metodi per eliminare la forma di indecisione.
Ti presentiamo un primo caso classico: se £$a_n=\sqrt{n+3}$£ e £$b_n=-\sqrt{n}$£ avremo che £$c_n=a_n+b_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}$£ presenta proprio la forma di indecisione £$[+\infty -\infty]$£. Il trucco a cui ricorriamo in questo caso per ricondurci ad una situazione più semplice consiste nel moltiplicare e dividere la successione £$c_n$£ per il fattore £$\sqrt{n+3}+\sqrt{n}$£. Otteniamo perciò:

$$c_n=\frac{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})\cdot(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}=\frac{n+3-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}$$

Abbiamo quindi sfruttato un prodotto notevole (somma per differenza) per riscrivere la successione £$c_n$£ come £$c_n=\frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}$£.

Il denominatore tende evidentemente a £$+ \infty$£ mentre il numeratore è una costante positiva. Segue allora che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}c_n=0^{+}$£.

La seconda forma di indecisione £$[0\cdot\infty]$£ presenta situazioni in genere più intricate. Innanzitutto, osserviamo che si può trovare sotto forma dei casi £$\left[\frac{0}{0}\right]$£ e £$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$£, anzi si tratta proprio di quello che accade la maggior parte delle volte.

In precedenza abbiamo detto che il rapporto di due successioni può sempre essere visto come il prodotto di due successioni. Per poter usare però questa osservazione in maniera efficace, ossia ai fini del calcolo dei limiti, dobbiamo avere ben chiaro quali relazioni sussistono tra una successione £$x_n$£ (con £$x_n\neq 0\:\forall n\in\mathbb{N}$£) e la successione £$\frac{1}{x_n}$£. Valgono le seguenti implicazioni (del tutto logiche d’altra parte):

• £$x_n\rightarrow \pm\infty\Rightarrow\frac{1}{x_n}\rightarrow 0^{\pm}$£
• £$x_n\rightarrow 0^{\pm}\Rightarrow\frac{1}{x_n}\rightarrow \pm\infty$£
• £$|x_n|\rightarrow +\infty\Rightarrow\frac{1}{x_n}\rightarrow 0$£
• £$x_n\rightarrow 0$£ (non £$ 0^+ $£ né £$ 0^- $£) £$\Rightarrow\frac{1}{x_n}$£ è irregolare

ESEMPI: consideriamo la successione £$x_n=\frac{n^{3}-5}{\sqrt{n}}$£. Possiamo vederla come rapporto delle successioni £$a_n=n^{3}-5$£ e £$b_n=\sqrt{n}$£. Entrambe le successioni tendono a £$+\infty$£ per £$n\rightarrow +\infty$£. Quindi la successione £$x_n$£ è caratterizzata dalla forma di indecisione £$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$£. Tuttavia possiamo anche studiare la successione £$x_n$£ come prodotto di £$a_n$£ e della successione £$c_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$£. È abbastanza facile intuire che £$b_n\rightarrow +\infty$£ e che quindi £$c_n\rightarrow 0^{+}$£ per £$n\rightarrow +\infty$£. Guardando la successione £$x_n$£ in questa maniera appare bene evidente la forma £$[0\cdot +\infty]$£.

Allo stesso modo la successione £$y_n=n\cdot \text{sen} \left({\frac{1}{n}}\right)$£ ad una prima occhiata appare come prodotto delle successioni £$a_n=n$£ e £$b_n=\text{sen}\left({\frac{1}{n}}\right)$£, con £$a_n\rightarrow +\infty$£ (ovvio) e £$b_n\rightarrow 0$£ (segue dal teorema: £$\frac{1}{n}\rightarrow 0\Rightarrow\text{sen}\left({\frac{1}{n}}\right)\rightarrow\text{sen }(0)=0$£) e quindi abbiamo una forma £$[0\cdot \infty]$£.
Ma la successione £$y_n$£ si può riscrivere come £$y_n=\frac{\text{sen}\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}$£, e in questo caso appare evidente la forma £$\left[\frac{0}{0}\right]$£. Insomma le tre forme di indecisione £$[0\cdot\infty]$£, £$\left[\frac{0}{0}\right]$£ e £$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$£ risultano in fin dei conti del tutto equivalenti!

Spesso negli esercizi che vengono proposti sul calcolo dei limiti di successioni ci si trova ad affrontare il caso in cui la successione in questione si scrive come il rapporto di due polinomi, come ad esempio £$x_n=\frac{-n^{3}-2n^{2}+4}{n^{4}+n-2}$£.
Cercando di calcolare il limite di tali successioni per £$n\rightarrow +\infty$£ si incorre sempre in una forma di indecisione del tipo £$\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$£. Per eliminare tale forma di indecisione si ricorre quasi sempre ad un metodo standard che adesso vedremo passo per passo:

1. Si raccoglie sia al numeratore che al denominatore il termine di grado maggiore. Nell’esempio appena visto dovremo riscrivere la successione £$x_n$£ come £$x_n=\frac{n^{3}\left(-1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{3}}\right)}{n^{4}\left(1+\frac{1}{n^{3}}-\frac{2}{n^{4}}\right)}$£
2. Si semplifica quello che si può semplificare tra i due termini di grado massimo. Nel nostro caso otterremmo £$x_n=\frac{-1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^{3}}}{n\left(1+\frac{1}{n^{3}}-\frac{2}{n^{4}}\right)}$£ semplificando un fattore di £$n^{3}$£
3. A questo punto la forma di indecisione è stata eliminata. Nel nostro caso abbiamo un numeratore che tende a £$-1$£, mentre il denominatore è il prodotto di un fattore che tende a £$+\infty$£ e di un fattore che tende a £$1$£. Segue dalle regole che abbiamo visto prima che il denominatore tenderà a £$+\infty$£, quindi l’intera successione tenderà a £$0$£ in quanto rapporto di una successione che tende a un valore finito e di una che tende a un valore infinito.

I più attenti avranno già intuito che il metodo che abbiamo appena visto conduce ad una regola pratica facilissima da applicare! Infatti, se ci troviamo di fronte ad una successione del tipo £$x_n=\frac{P(n)}{Q(n)}$£, dove £$P(n)$£ e £$Q(n)$£ sono dei polinomi, avremo che:

• Se il grado del polinomio £$P(n)$£ è maggiore di quello del polinomio £$Q(n)$£, allora sicuramente £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=\pm\infty$£. Attenzione: il segno dell’infinito dipende dai casi, ovvero dal segno dei coefficienti dei termini di grado massimo del numeratore e del denominatore.
  Per esempio se £$x_n=\frac{4n^{3}+3}{-5n+2}=\frac{n^3\left(4+\frac{3}{n^{3}}\right)}{-5+\frac{2}{n}}$£ abbiamo che, dopo aver applicato il metodo visto prima, il numeratore tende a £$+\infty$£, mentre il denominatore tende a £$-5$£. Quindi per le regole che abbiamo visto avremo che £$x_n\rightarrow -\infty$£ (basta fare il normale prodotto dei segni!).
• Se il grado del polinomio £$P(n)$£ è minore di quello del polinomio £$Q(n)$£, allora sicuramente £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=0$£. Per studiare se £$x_n$£ tende a £$ 0^- $£ o £$ 0^+ $£, basta semplicemente fare, come in precedenza, il prodotto dei segni dei termini di grado massimo del numeratore £$P(n)$£ e del denominatore £$Q(n)$£. Ad esempio la successione che abbiamo già studiato £$x_n=\frac{-n^{3}-2n^{2}+4}{n^{4}+n-2}$£ tenderà a £$0^{-}$£.
• Se il grado di £$P(n)$£ è uguale al grado di £$Q(n)$£ allora il valore limite della successione £$x_n$£ è dato dal rapporto tra i coefficienti del termine di grado massimo di numeratore e denominatore. Ad esempio la successione £$x_n=\frac{3n^{3}-n+2}{-2n^{3}+n^{2}-5}$£ tende sicuramente a £$-\frac{3}{2}$£. Prova ad eseguire il raccoglimento che ti abbiamo suggerito sopra per convincerti di questo fatto!