Limiti di successioni

Cosa succede quando l’indice £$n$£ del termine generale £$x_n$£ di una successione diventa molto molto grande? Dobbiamo definire che cos’è il limite di una successione (esso, qualora esista, è unico!), classificare le successioni in base al loro comportamento “all’infinito” e imparare a verificare i limiti di successione.

2019-04-03 07:49:37

Comprendere bene il concetto di limite è il primo passo per poi passare al calcolo del medesimo. Con le successioni forse ti risulterà più facile che con le funzioni. Potremo calcolare limiti esclusivamente per £$n$£ che tende a più infinito e vedremo che il significato di limite potrà essere agevolmente tradotto in termini “grafici”.

Le definizioni potrebbero sembrarti formali, ma sono l’unica maniera di scrivere in maniera tecnica e precisa quello che a parole possiamo comunque semplificare, quindi ti consigliamo di impararle molto bene!

Come puoi forse già aver visto alle superiori, in base all’esistenza del limite e alla sua natura (se è finito o infinito) le successioni si divideranno in convergenti (limite finito), divergenti (limite infinito) e irregolari (limite non esistente).

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Cos'è il limite di una successione

Parlando di successioni, l'argomento fondamentale riguarda il concetto di limite di una successione. Questo non ci deve sorprendere!

Infatti sappiamo che le successioni sono in particolare delle funzioni e quindi calcolare i limiti è una cosa normalissima.

In realtà è molto facile perché l'unico limite che ci interessa calcolare è quello per £$n$£ che tende a £$+\infty$£, cioè ci interessa sapere cosa succede ai termini della successione man mano che £$n$£ cresce.

ESEMPIO: è intuitivo immaginare che la successione £$x_n=\frac{1}{n}$£ assumerà valori sempre più vicini allo zero man mano che £$n$£ cresce e viene abbastanza spontaneo dire che “£$x_n$£ tende a zero quando £$n$£ tende a £$+\infty$£”.

Allo stesso modo, se consideriamo la successione £$y_n=5^{n}$£ possiamo senza troppi dubbi immaginare che questa “cresca” sempre di più al crescere di £$n$£, perché si tratta di un qualcosa molto simile a una funzione esponenziale con base maggiore di £$1$£.

Come per i limiti di funzione, non è sempre tutto così scontato. Prendiamo, per esempio, la successione £$z_n=sen\,( n)$£. Cosa succede quando £$n$£ cresce? Intuitivamente immaginiamo un qualcosa di infinitamente oscillante, ma come fare a dire che la successione £$z_n$£ si comporta “meno bene” delle due precedenti? Proprio per chiarire meglio le osservazioni intuitive appena fatte sfruttiamo un potente strumento, ossia il concetto di limite.

Carattere di una successione

Abbiamo visto intuitivamente cos'è il limite di una successione. Come per le funzioni, esiste una definizione formale del concetto di limite.

Una successionea valori reali £$ x_n$£ ha limite un valore finito £$\ell \in\mathbb{R}$£ se:

£$\forall \varepsilon >0\:\exists N=N(\varepsilon) \text{ tale che } \forall n\in\mathbb{N}, n>N \text{ vale che } |x_n-\ell|<\varepsilon $£

Cosa significa tutta sta roba? Traducendo dal “matematichese” diremo che una successione a valori reali ha limite finito £$\ell$£ se, scelto comunque un numero positivo e piccolo a piacere (il famoso £$\varepsilon$£), da un certo punto in poi i termini della successione saranno distanti dal limite £$\ell$£ meno di £$\varepsilon$£ (£$|x_n - \ell|$£ indica la distanza dei termini da £$\ell$£).

Se una successione ha limite finito, diciamo che la successione è convergente.

Quando una successione è convergente, possiamo scrivere:

£$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} x_n=\ell $£ che si legge “il limite di £$x_n$£ per £$n$£ che tende a più infinito è uguale a £$\ell$£”

Esempi di successioni convergenti

  • £$a_n=e^{-n}$£ converge a £$0$£
  • £$b_n=\frac{3n-2}{3-n}$£ converge a £$-3$£
  • £$c_n=\frac{\text{sen }{n}}{n}$£ converge a £$0$£

Ovviamente, esistono successioni che hanno limite infinito. Una successione a valori reali £$x_n$£ ha limite £$+\infty$£ se:

£$\forall M>0 \:\exists N=N(M)\mbox{ tale che }\forall n>N\mbox{ vale che }x_n>M$£

Allo stesso modo, una successione £$x_n$£ ha limite £$-\infty$£ se: £$\forall M>0 \:\exists N=N(M)\mbox{ tale che }\forall n>N\mbox{ vale che }x_n<-M$£

Se una successione ha limite infinito, diremo che la successione è divergente.

Esempi di successioni divergenti:

  • £$d_n=\ln n$£
  • £$e_n=n^{\alpha} \ $£ £$\forall \alpha>0$£

Come per le funzioni, anche per le successioni può capitare che il limite non esista. Prendiamo ad esempio la successione £$x_{n}=(-1)^n$£. Come sono fatti i suoi termini? Beh se £$n$£ è pari allora avremo £$1$£ se invece £$n$£ è dispari £$-1$£. Quindi a quale valore tende? £$1$£ o £$-1$£?
La risposta è: “a nessuno dei due!”. Quindi il limite della successione non esiste. La successione è quindi oscillante.

Allora possiamo dividere le successioni in due grandi gruppi:

  • successioni regolari: il limite per £$n\to +\infty$£ esiste (finito o infinito);
  • successioni irregolari: il limite per £$n\to +\infty$£ non esiste.

Limiti di successioni limitate e illimitate

Abbiamo visto che una successione £$x_n$£ può essere:

  • limitata se £$\exists a,b\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }\forall n\in\mathbb{N}\mbox{ vale che }x_n\in\left[a,b\right]$£;
  • illimitata in caso contrario.

È possibile dimostrare, senza troppa fatica, che se una successione è convergente allora è anche limitata, ma anche che una successione divergente è illimitata.

Esistono però degli esempi che mostrano come non valga il viceversa. Infatti la successione £$x_{n}=(-1)^n$£ è limitata perché assume solo i valori £$1$£ e £$-1$£, ma non è convergente.

La successione £$a_{n}=\frac{n}{\text{sen }n}$£ è illimitata però è irregolare a causa di £$sen\, n $£ al denominatore. Infatti il limite per £$n\to +\infty$£ vale £$+\infty$£ oppure £$-\infty$£, ma sappiamo che se il limite esiste allora deve essere unico. Quindi la successione è irregolare (pur essendo illimitata).

Esercizi di Limiti di successioni - 1

Esercizi di Limiti di successioni - 2

Esercizi di Limiti di successioni - 3

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