Successioni monotone, limitate e illimitate

Osserviamo fin da subito che non è necessario che una successione sia definita esattamente su tutto l’insieme £$\mathbb{N}$£, ma almeno da un certo numero naturale £$n_{0}\in\mathbb{N}$£ in poi, visto che siamo interessati a capire come la successione si comporta quando £$n$£ diventa molto grande. Questo fatto verrà chiarito meglio nelle prossime lezioni.
Come esempio di questa situazione basta considerare la successione £$a_n=\ln( n-4)$£, che è definita £$\forall n>4$£ perché l'argomento del logaritmo deve essere positivo, oppure la successione £$x_n=\frac{1}{n-7}$£ definita £$ \forall n\neq 7$£.

Infine un’ultima nota: alcuni libri di testo considerano lo zero come numero naturale, mentre per altri vale che £$\mathbb{N}=\lbrace1, 2, 3, \dots\rbrace$£. Non stupirti quindi se alcune successioni vengono definite anche per £$n=0$£. Per quanto ci riguarda tenderemo ad escludere lo zero dai numeri naturali.

In coda a questa prima lezione ti forniamo un primo abbozzo di classificazione delle successioni a valori reali. Diamo brevemente la definizione di successione monotòna (attenzione a dove cade l’accento in modo da avere l’esatta pronuncia!). Vedremo che tali successioni sono particolarmente facili da trattare.

Definizione. Sia £$\left\lbrace x_n\right\rbrace$£ una successione a valori reali. Diremo che tale successione è:

1. monotòna crescente se £$x_n \le x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
2. monotòna decrescente se £$x_n \ge x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
3. strettamente monotòna crescente se £$x_n < x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
4. strettamente monotòna decrescente se £$x_n > x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£

Ad esempio la successione di Fibonacci è monotòna crescente, mentre la successione definita da £$x_n=\frac{1}{n}$£ è strettamente monotòna decrescente.

Una successione costante del tipo £$y_n=\pi\:\forall n\in\mathbb{N}$£ è sia monotòna crescente sia monotòna decrescente se utilizziamo la definizione appena data!

Esiste un altro modo per classificare le successioni. Infatti, possiamo classificarle in base ai valori che assumono. Diciamo che una successione £$x_n$£ è:

• limitata se £$\exists a,b\in\mathbb{R}\text{ tali che }\forall n\in\mathbb{N}\text{ vale che }x_n\in\left[a,b\right]$£
• illimitata in caso contrario

ESEMPI

La successione £$x_{n}=(-1)^n$£ è limitata. Infatti i valori che questa successione può avere sono solo £$1$£ se £$n$£ è pari e £$-1$£ se £$n$£ è dispari. Quindi abbiamo che £$x_{n} \in [-1,1], \,\forall n \in \mathbb{N}$£.

La successione £$a_{n}=\ln(n)$£ è illimitata. Infatti non è possibile trovare due numeri reali £$a,b$£ tali che £$a_{n} \in [a,b]$£ per ogni £$n$£. Basta pensare a come è fatta la funzione logaritmo per convincersi di questo.