Successioni monotone, limitate e illimitate

In questa lezione impareremo a trovare il dominio di una successione e scopriremo cosa si intende per successione monotòna. Non sai ancora cos'è una successione limitata o illimitata? Allora cosa aspetti? Apri la lezione!

Ora che hai scoperto che una successione è una funzione che ha per dominio l’insieme £$\mathbb{N}$£ dei numeri naturali (o un suo sottoinsieme infinito), è il momento di fare un po' di ordine.

Iniziamo a distinguere le successioni monotòne crescenti e monotòne decrescenti e impariamo a far vedere che una successione è monotòna!

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Prerequisiti per Successioni monotone

I prerequisiti per successioni monotone, limitate e illimitate sono:

Dominio delle successioni

Osserviamo fin da subito che non è necessario che una successione sia definita esattamente su tutto l’insieme £$\mathbb{N}$£, ma almeno da un certo numero naturale £$n_{0}\in\mathbb{N}$£ in poi, visto che siamo interessati a capire come la successione si comporta quando £$n$£ diventa molto grande. Questo fatto verrà chiarito meglio nelle prossime lezioni.
Come esempio di questa situazione basta considerare la successione £$a_n=\ln( n-4)$£, che è definita £$\forall n>4$£ perché l'argomento del logaritmo deve essere positivo, oppure la successione £$x_n=\frac{1}{n-7}$£ definita £$ \forall n\neq 7$£.

Infine un’ultima nota: alcuni libri di testo considerano lo zero come numero naturale, mentre per altri vale che £$\mathbb{N}=\lbrace1, 2, 3, \dots\rbrace$£. Non stupirti quindi se alcune successioni vengono definite anche per £$n=0$£. Per quanto ci riguarda tenderemo ad escludere lo zero dai numeri naturali.

Successioni monotòne

In coda a questa prima lezione ti forniamo un primo abbozzo di classificazione delle successioni a valori reali. Diamo brevemente la definizione di successione monotòna (attenzione a dove cade l’accento in modo da avere l’esatta pronuncia!). Vedremo che tali successioni sono particolarmente facili da trattare.

Definizione. Sia £$\left\lbrace x_n\right\rbrace$£ una successione a valori reali. Diremo che tale successione è:

  1. monotòna crescente se £$x_n \le x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
  2. monotòna decrescente se £$x_n \ge x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
  3. strettamente monotòna crescente se £$x_n < x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
  4. strettamente monotòna decrescente se £$x_n > x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£

Ad esempio la successione di Fibonacci è monotòna crescente, mentre la successione definita da £$x_n=\frac{1}{n}$£ è strettamente monotòna decrescente.

Una successione costante del tipo £$y_n=\pi\:\forall n\in\mathbb{N}$£ è sia monotòna crescente sia monotòna decrescente se utilizziamo la definizione appena data!

Successioni limitate e illimitate

Esiste un altro modo per classificare le successioni. Infatti, possiamo classificarle in base ai valori che assumono. Diciamo che una successione £$x_n$£ è:

  • limitata se £$\exists a,b\in\mathbb{R}\text{ tali che }\forall n\in\mathbb{N}\text{ vale che }x_n\in\left[a,b\right]$£
  • illimitata in caso contrario

ESEMPI

La successione £$x_{n}=(-1)^n$£ è limitata. Infatti i valori che questa successione può avere sono solo £$1$£ se £$n$£ è pari e £$-1$£ se £$n$£ è dispari. Quindi abbiamo che £$x_{n} \in [-1,1], \,\forall n \in \mathbb{N}$£.

La successione £$a_{n}=\ln(n)$£ è illimitata. Infatti non è possibile trovare due numeri reali £$a,b$£ tali che £$a_{n} \in [a,b]$£ per ogni £$n$£. Basta pensare a come è fatta la funzione logaritmo per convincersi di questo.

Esercizi di Introduzione alle successioni a valori reali - 1

Allenati con gli esercizi svolti sulle successioni reali. Riesci a trovare i termini di una successione? Mettiti alla prova!

Esercizi di Introduzione alle successioni a valori reali - 2

Allenati con gli esercizi sulle successioni limitate o illimitate. Prova a capire quali sono i valori entro cui è definita una successione, ovviamente se questa è limitata!

Esercizi di Introduzione alle successioni a valori reali - 3

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