o-piccolo e asintotico

Come abbiamo fatto per i limiti di funzioni, anche tra le successioni possiamo definire gli o-piccolo.

Definizione. Siano £$x_n$£ e £$y_n$£ due successioni a valori reali tali che £$y_n\neq 0\;\forall n\in\mathbb{N}$£. Diciamo che £$x_n$£ è “o-piccolo” di £$y_n$£ se vale £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{x_n}{y_n}=0$£. In questo caso, scriviamo £$x_n=o(y_n)$£.

Cosa significa? Dal punto di vista del significato, affermare che £$x_n$£ è “o-piccolo” di £$y_n$£ vuol dire che la successione £$x_n$£ risulta in qualche maniera trascurabile rispetto alla successione £$y_n$£, almeno per quanto riguarda il calcolo dei limiti. Infatti immaginiamo di calcolare il limite della successione £$a_n=y_n+x_n$£ dove £$x_n=o(y_n)$£ e £$y_n$£ è una successione regolare (cioè ammette limite).
Possiamo scrivere £$a_n=y_n+o(y_n)=y_n\cdot\left(1+\frac{o(y_n)}{y_n}\right)$£. Sicuramente vale che £$\left(1+\frac{\mathit{o}(y_n)}{y_n}\right)\rightarrow 1$£ per £$n\rightarrow +\infty$£ per definizione di “o-piccolo”, e quindi possiamo affermare, per il teorema sul calcolo dei limiti, che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n+\mathit{o}(y_n)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}y_n$£.

Questo fatto ci può aiutare a rendere molto più rapida la risoluzione delle forme di indecisione del tipo £$[+\infty -\infty]$£!

ESEMPIO: consideriamo le successioni £$x_n=-\sqrt{n}$£ e £$y_n=n^{3}$£. Siccome £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{-\sqrt{n}}{n^{3}}=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}-\left(n^{-\frac{5}{2}}\right)=0$£, potremo scrivere, in base alla definizione appena data, che £$\sqrt{n}=\mathit{o}(n^{3})$£.

Quanto vale allora il limite della successione £$b_n=-\sqrt{n}+n^{3}$£?

Sappiamo che £$b_n=-\sqrt{n}+n^{3}=\mathit{o}(n^{3})+n^{3}\rightarrow +\infty$£ perché £$n^{3}\rightarrow +\infty$£! La scala degli infiniti che abbiamo visto prima può essere interpretata nel modo seguente:

$${(\ln n)}^{\alpha}=\mathit{o}(n^{\beta})=\mathit{o}(c^{n})=\mathit{o}(n!)=\mathit{o}(n^{n})$$ dove ovviamente dobbiamo come al solito specificare che £$\alpha,\:\beta>0$£ e che £$c>1$£.

È possibile definire una sorta di “algebra di o-piccolo”, cioè le operazioni che valgono con gli o-piccolo:

1. data una successione £$a_n$£ vale che se £$a_n=\mathit{o}(1)$£ allora sicuramente £$a_n\rightarrow 0$£ e viceversa. Infatti, per definizione, avremmo che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{\frac{a_n}{1}}=0$£;
2. £$\pm\mathit{o}(a_n)=\mathit{o}(a_n)$£, il segno è indifferente;
3. £$\mathit{o}(a_n)\pm\mathit{o}(a_n)=\mathit{o}(a_n)$£ gli “o-piccoli” NON si cancellano;
4. £$c\cdot\mathit{o}(a_n)=\mathit{o}(c\cdot a_n)=\mathit{o}(a_n)$£ i coefficienti numerici risultano indifferenti.

Siano ora £$b_n$£ e £$c_n$£ altre due successioni, allora vale che:

1. £$b_n\cdot\mathit{o}(a_n)=\mathit{o}(b_n\cdot a_n)$£ la relazione di “o-piccolo” si comporta bene rispetto al prodotto;
2. se £$a_n=\mathit{o}(b_n)$£ e £$b_n=\mathit{o}(c_n)$£ allora vale che £$a_n=\mathit{o}(c_n)$£, la relazione di “o-piccolo” è transitiva;
3. dal punto precedente segue che £$\mathit{o}(\mathit{o}(a_n))=\mathit{o}(a_n)$£ vale infine che £$\mathit{o}(a_n+\mathit{o}(a_n))=\mathit{o}(a_n)$£.

ESEMPIO: calcoliamo il limite della successione £$a_n=\mathit{e}^{\sqrt{n}}\cdot(3n^{2}-(\ln n)^{4})-4\mathit{e}^{n}$£.
Per quanto detto sulla scala degli infiniti abbiamo che £$(\ln n)^{4}=\mathit{o}(3n^{2})=\mathit{o}(n^{2}) $£ e che £$3n^{2}=\mathit{o}(\mathit{e}^{\sqrt{n}})=\mathit{o}({(\sqrt{\mathit{e}})}^{n})$£

Quindi potremo scrivere che:

£$a_n=\mathit{e}^{\sqrt{n}}\cdot(3n^{2}-(\ln n)^{4})-4\mathit{e}^{n}= $£ £$ \mathit{e}^{\sqrt{n}}\cdot(3n^{2}+\mathit{o}(n^{2}))-4\mathit{e}^{n}= $£ £$ \mathit{e}^{\sqrt{n}}\cdot\mathit{o}(\mathit{e}^{\sqrt{n}})-4\mathit{e}^{n}= $£ £$ \mathit{o}(\mathit{e}^{2\sqrt{n}})-4\mathit{e}^{n}$£

Ora evidentemente £$\mathit{e}^{2\sqrt{n}}=\mathit{o}(\mathit{e}^{n})$£ (provare per credere!) quindi alla fine avremo £$a_n=-4\mathit{e}^{n}+\mathit{o}(\mathit{e}^{n})$£ e quindi possiamo affermare che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{a_n}=-\infty$£.

Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.

La seconda relazione che introduciamo tra le successioni è quella di “asintotico”. Vedremo presto che esistono rapporti stretti tra “o-piccolo” e “asintotico”.

Definizione. Siano £$x_n$£ e £$y_n$£ due successioni a valori reali e tali che £$x_n,\:y_n\neq 0\:\forall n\in\mathbb{N}$£. Si dice che £$x_n$£ è asintotico a £$y_n$£ se vale che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{\frac{x_n}{y_n}}=1$£. In tal caso si scrive £$x_n\sim y_n$£.

Notiamo innanzitutto che la relazione di asintotico, risulta una relazione di equivalenza:

• è riflessiva, infatti £$x_n\sim x_n$£ poiché £$\frac{x_n}{x_n}=1\to1$£;
• simmetrica, infatti se £$x_n\sim y_n$£ allora £$y_n\sim x_n$£, perché se £$\frac{x_n}{y_n}\to1$£ allora £$\frac{y_n}{x_n}\to1$£;
• è anche transitiva, infatti se £$x_n\sim y_n$£ e £$y_n\sim z_n$£ allora £$x_ n\sim z_n$£. Infatti avremo che £$\frac{x_n}{z_n}=\frac{x_n}{y_n}\cdot\frac{y_n}{z_n}\to1$£ visto che £$\frac{x_n}{y_n}\to1$£ e £$\frac{y_n}{z_n}\to1$£ per le ipotesi che abbiamo dato.

Vale inoltre un altro fatto: se £$x_n\sim y_n$£ e sappiamo che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{x_n}=\alpha$£, allora sicuramente varrà che £$\lim\limits_{n\to +\infty}{y_n}=\alpha$£.
Insomma se abbiamo due successioni asintotiche di cui una è regolare, allora sono entrambe regolari e ammettono lo stesso limite (finito o infinito)!
Infatti avremo che £$x_n=\frac{x_n}{y_n}\cdot{y_n}\to\alpha$£. Ma siccome sappiamo che £$\frac{x_n}{y_n}\to1$£, allora necessariamente £$y_n\to\alpha$£.

Attenzione! Non vale in nessun modo il viceversa: se due successioni ammettono lo stesso limite non è assolutamente detto che esse siano asintotiche!

ESEMPI:

• le successioni £$a_n=n^{3}-5n+2$£ e £$b_n=n^3$£ sono asintotiche. Infatti £$\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^{3}-5n+2}{n^3}\to 1$£ per quanto abbiamo già visto sui limiti di rapporti di polinomi;
• le successioni £$c_n=\ln{(n+4)}$£ e £$d_n=\ln{n}$£ sono asintotiche. Infatti £$\frac{c_n}{d_n}=\frac{\ln{(n+4)}}{\ln n}=\frac{\ln{\left[n\cdot\left(1+\frac{4}{n}\right)\right]}}{\ln n}=\frac{\ln{n}+\ln{\left(1+\frac{4}{n}\right)}}{\ln n}=1+\frac{\ln{\left(1+\frac{4}{n}\right)}}{\ln n}\to 1$£ per £$n\to +\infty$£. Sappiamo che £$\frac{\ln{\left(1+\frac{4}{n}\right)}}{\ln n}\to 0$£ perché il numeratore tende a zero mentre il denominatore tende a più infinito.

Passiamo ora al rapporto che sussiste tra le relazioni di “o-piccolo” e di “asintotico”. Vediamolo scritto in “matematichese”:

£$x_n\sim y_n\Leftrightarrow x_n=y_n+\mathit{o}(y_n)$£

Se vale £$x_n=y_n+\mathit{o}(y_n)$£ avremo che £$\frac{x_n}{y_n}=\frac{y_n+\mathit{o}(y_n)}{y_n}=1+\frac{\mathit{o}(y_n)}{y_n}\to 1$£ poiché per definizione vale £$\frac{\mathit{o}(y_n)}{y_n}\to 0$£. Quindi vale £$x_n\sim y_n$£.
Viceversa se vale £$x_n\sim y_n$£ potremo scrivere che £$\frac{x_n}{y_n}=1+\mathit{o}(1)$£ e moltiplicando a destra e sinistra per £$y_n$£ otterremo esattamente che £$x_n=y_n+\mathit{o}(y_n)$£.

La differenza tra due successioni tra loro asintotiche è tale da essere trascurabile rispetto alle stesse. Questo risulta evidente se ricordiamo che due successioni asintotiche e regolari hanno lo stesso limite!

Un’ultima annotazione: la relazione di asintotico si “comporta bene” con prodotti (e quozienti). Se abbiamo una successione del tipo £$x_n=a_n\cdot b_n$£ e sappiamo che £$b_n\sim c_n$£, allora varrà anche che £$x_n\sim y_n$£ dove £$y_n=a_n\cdot c_n$£. Ai fini del calcolo del limite della successione £$x_n$£ possiamo tranquillamente servirci della successione £$y_n$£, se risulta più facile da affrontare!
In generale, però, se abbiamo a che fare con somme, esponenziali o logaritmi (ecc. …) NON è possibile sostituire un termine di una successione con un altro ad esso asintotico ed essere sicuri che il limite dell’intera successione resti immutato!
Ad esempio non vale in generale che se £$a_n\sim b_n$£ allora £$\mathit{e}^{a_n}\sim \mathit{e}^{b_n}$£. Prova a verificarlo con £$a_n=n+1$£ e £$b_n=n$£.

Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.