Introduzione alle successioni a valori reali

Questa lezione sarà di fatto una prima introduzione al mondo delle successioni, in particolare delle successioni a valori reali (o successioni numeriche). Partiremo dalla definizione, impareremo il simbolismo matematico e grafico che viene utilizzato per le successioni e infine vedremo cosa si intende per successione monotòna.

2019-04-03 03:22:59

Una successione è una funzione che ha per dominio l’insieme £$\mathbb{N}$£ dei numeri naturali (o un suo sottoinsieme infinito). In particolare una successione a valori realiassocerà ad ogni numero naturale uno ed un solo numero reale!

Come è possibile questo se l’insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali è molto “più grande” dell’insieme £$\mathbb{N}$£ dei naturali?

Beh, semplicemente una successione non sarà mai una funzione suriettiva, se consideriamo £$\mathbb{N}$£ come suo codominio!

Come sarà il grafico di una successione a valori reali? Non possiamo aspettarci una curva “continua”, ma dovremo accontentarci di una punteggiata che in corrispondenza del numero naturale £$n$£ ci dice quale valore assume la successione!

Possiamo cominciare a fare un po’ di ordine nel mondo delle successioni fin da subito? Certo! Iniziamo a distinguere le successioni monotòne crescenti e monotòne decrescenti e impariamo a far vedere che una successione è monotòna!

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Cos'è una successione

In generale una successione a valori in un insieme £$X$£ è una funzione che ha per dominio l’insieme £$\mathbb{N}$£ dei numeri naturali e per codominio un qualsiasi insieme £$X$£. Ci sono alcune successioni che sono particolarmente celebri e di cui hai forse già sentito parlare.
Hai mai sentito parlare della successione di Fibonacci? Ecco come è definita:

£$Fib: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} $£ tale che £$Fib(1)=Fib(2)=1$£, ovvero ai numeri naturali £$1$£ e £$2$£ associamo il numero naturale £$1$£ e per £$n > 2 $£ vale la regola £$Fib(n)=Fib(n-2)+Fib(n-1)$£, ovvero ai numeri naturali dal £$3$£ in poi associamo la somma dei valori della successione in corrispondenza dei due naturali precedenti. Così avremo: £$Fib(3)=Fib(1)+Fib(2)=1+1=2$£, £$Fib(4)=Fib(2)+Fib(3)=1+2=3, Fib(5)=2+3=5, Fib(6)=3+5=8$£, …
Elencando i valori assunti dalla successione di Fibonacci troviamo una sequenza del tipo: £$1,\:1,\:2,\:3,\:5,\:8,\:13,\:21,\:34,\:\dots$£
Tranne i primi due, ogni numero è somma dei due precedenti! Quando una successione è definita a partire dai valori che la stessa successione assume sui numeri naturali precedenti, si dice che essa è definita per ricorsione (o per induzione).

Un altro esempio utile che in seguito ritroveremo è quello del cosiddetto fattoriale di un numero naturale. Anche in questo caso abbiamo una successione a valori nell’insieme £$\mathbb{N}$£ dei numeri naturali e definita per ricorsione:

£$Fatt: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$£ tale che: £$Fatt(1)=1$£, £$Fatt(n)=n\cdot Fatt(n-1)$£, ovvero ad ogni naturale a partire dal £$2$£ viene associato il prodotto di quel numero naturale per il valore assunto dalla funzione fattoriale sul numero naturale precedente. Sostanzialmente quello che accade è:

£$Fatt(n)=n\cdot Fatt(n-1)=n\cdot (n-1)\cdot Fatt(n-2)=n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1$£

Di fatto a ogni numero naturale £$n$£ viene associato il prodotto di tutti i numeri naturali minori o uguali ad esso. In matematica siamo soliti scrivere £$Fatt(n)=n!$£ per indicare il fattoriale di un numero. Come si diceva all’inizio però l’insieme £$X$£ che fa da codominio alla nostra successione non è necessariamente un insieme con cui siamo abituati a lavorare. Ad esempio potremmo considerare una successione di sfere concentriche di raggio £$\frac{1}{n}$£: in questo caso il codominio £$X$£ è lo spazio tridimensionale euclideo!

Successioni a valori reali

Noi ci occuperemo esclusivamente di successioni il cui codominio è l’insieme £$\mathbb{R}$£ dei numeri reali, che sono anche chiamate successioni reali.

In simboli, una successione a valori reali è quindi una funzione £$f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$£

Può sembrare strano il fatto di studiare funzioni da un insieme “più piccolo” come £$\mathbb{N}$£ ad un insieme “più grande” come £$\mathbb{R}$£. Tuttavia dobbiamo ricordarci che il codominio di una funzione non coincide in generale con tutti i valori che la funzione tocca. Ciò avviene solo e soltanto se la nostra funzione è suriettiva. Quindi quando abbiamo detto che il codominio privilegiato sarà £$\mathbb{R}$£ intendiamo che studieremo funzioni in cui ad ogni numero naturale viene associato un numero reale.

ESEMPIO: consideriamo la successione che associa ad ogni numero naturale la sua radice quadrata. Quindi avremo che £$1\to \sqrt{1}$£, £$2\to \sqrt{2}$£ e così via.

Come rappresentare le successioni? Le successioni possono essere rappresentate in modi diversi:

  • per elencazione degli elementi, cioè scrivendo gli elementi uno dopo l'altro. Ovviamente non è possibile scrivere tutti gli elementi della successione, ma ci si limita a elencarne alcuni.
    ESEMPIO: la successione che associa ad ogni numero naturale il suo doppio può essere rappresentata come: £$2,\: 4,\: 6,\: 8, \:10\:\dots$£
  • scrivendo quello che viene chiamato termine generale o n-esimo della successione. Questo è possibile quando sappiamo come sono fatti i termini della successione e come dipendono dall'indice £$n$£.
    ESEMPIO: la successione dell'esempio precedente può anche essere rappresentata con £$a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$£, £$a_{n}=2n$£

Generalmente, nei casi in cui c’è una legge ben precisa che lega £$n$£ con la sua immagine tramite la successione, è più comodo e pratico indicare in maniera generale come è definita la successione su un £$n$£ qualsiasi e quindi usare il secondo modo per rappresentare le successioni.

Quali lettere vengono usate di solito per indicare una successione? Bella domanda! Tutto dipende da chi sta parlando. Di solito per indicare una successione si usa £$a_{n}$£, £$b_{n}$£ e £$x_{n}$£, ma non c'è una regola!

Ovviamente, usare £$a_{n}$£ significa che abbiamo la successione (che è una funzione) £$a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$£, tale che £$a_{n}=a(n)$£, cioè £$a_{n}$£ è l'immagine, tramite la funzione £$a$£ dell'elemento £$n$£.

Dominio delle successioni

Osserviamo fin da subito che non è necessario che una successione sia definita esattamente su tutto l’insieme £$\mathbb{N}$£, ma almeno da un certo numero naturale £$n_{0}\in\mathbb{N}$£ in poi, visto che siamo interessati a capire come la successione si comporta quando £$n$£ diventa molto grande. Questo fatto verrà chiarito meglio nelle prossime lezioni.
Come esempio di questa situazione basta considerare la successione £$a_n=\ln( n-4)$£, che è definita £$\forall n>4$£ perché l'argomento del logaritmo deve essere positivo, oppure la successione £$x_n=\frac{1}{n-7}$£ definita £$ \forall n\neq 7$£.

Infine un’ultima nota: alcuni libri di testo considerano lo zero come numero naturale, mentre per altri vale che £$\mathbb{N}=\lbrace1, 2, 3, \dots\rbrace$£. Non stupirti quindi se alcune successioni vengono definite anche per £$n=0$£. Per quanto ci riguarda tenderemo ad escludere lo zero dai numeri naturali.

Successioni monotòne

In coda a questa prima lezione ti forniamo un primo abbozzo di classificazione delle successioni a valori reali. Diamo brevemente la definizione di successione monotòna (attenzione a dove cade l’accento in modo da avere l’esatta pronuncia!). Vedremo che tali successioni sono particolarmente facili da trattare.

Definizione. Sia £$\left\lbrace x_n\right\rbrace$£ una successione a valori reali. Diremo che tale successione è:

  1. monotòna crescente se £$x_n \le x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
  2. monotòna decrescente se £$x_n \ge x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
  3. strettamente monotòna crescente se £$x_n < x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£
  4. strettamente monotòna decrescente se £$x_n > x_{n+1}\: \forall n\in\mathbb{N}$£

Ad esempio la successione di Fibonacci è monotòna crescente, mentre la successione definita da £$x_n=\frac{1}{n}$£ è strettamente monotòna decrescente.

Una successione costante del tipo £$y_n=\pi\:\forall n\in\mathbb{N}$£ è sia monotòna crescente sia monotòna decrescente se utilizziamo la definizione appena data!

Successioni limitate e illimitate

Esiste un altro modo per classificare le successioni. Infatti, possiamo classificarle in base ai valori che assumono. Diciamo che una successione £$x_n$£ è:

  • limitata se £$\exists a,b\in\mathbb{R}\mbox{ tali che }\forall n\in\mathbb{N}\mbox{ vale che }x_n\in\left[a,b\right]$£
  • illimitata in caso contrario

ESEMPI

La successione £$x_{n}=(-1)^n$£ è limitata. Infatti i valori che questa successione può avere sono solo £$1$£ se £$n$£ è pari e £$-1$£ se £$n$£ è dispari. Quindi abbiamo che £$x_{n} \in [-1,1], \,\forall n \in \mathbb{N}$£.

La successione £$a_{n}=\ln(n)$£ è illimitata. Infatti non è possibile trovare due numeri reali £$a,b$£ tali che £$a_{n} \in [a,b]$£ per ogni £$n$£. Basta pensare a come è fatta la funzione logaritmo per convincersi di questo.

Esercizi di Introduzione alle successioni a valori reali - 1

Esercizi di Introduzione alle successioni a valori reali - 2

Esercizi di Introduzione alle successioni a valori reali - 3

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