Teorema del confronto

Il teorema dei carabinieri è l'ancora di salvezza per tutti quelli che devono calcolare il limite di una successione. Infatti ci permette di non calcolare il limite di una successione che ha un'espressione "brutta" ma di ricondurci al calcolo del limite di una successione "bella", semplificando così le cose.

Teorema del confronto (“dei due carabinieri”)

Siano £$ x_n $£, £$ y_n $£, £$ z_n $£ tre successioni a valori reali tali che:

1. £$x_n$£ e £$y_n$£ convergono entrambe ad un valore £$\ell \in\mathbb{R}$£ (finito!)
2. £$x_n\le z_n \le y_n $£ definitivamente

Allora anche £$z_n$£ converge a £$\ell $£, ovvero £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} z_n=\ell$£.

Quindi il teorema ci dice che se abbiamo di fronte una successione £$z_n$£ che non ci piace abbiamo la possibilità di calcolarne il limite attraverso altre due successioni delle quali conosciamo il comportamento.
Perché viene chiamato “teorema dei due carabinieri”? Le successioni £$x_n$£ e £$y_n$£ si comportano esattamente come due membri delle forze dell’ordine che tengono stretta nella loro morsa la successione £$z_n$£ (il delinquente). Se i due carabinieri £$x_{n}$£ e £$y_{n}$£ vanno in caserma (cioè convergono in caserma), allora anche il delinquente £$z_{n}$£ andrà in caserma con loro.

Vediamo l'utilità di questo teorema con qualche esempio.

ESEMPIO: qual è il limite della successione £$z_n=\frac{\text{sen } n}{n}$£? Vediamo che c'è la funzione seno che sappiamo essere portatrice di limiti oscillanti.

Sappiamo però che £$-1 \le \text{sen } n \le 1$£ per ogni £$n$£ quindi sappiamo che £$- \frac{1}{n} \le \frac{\text{sen }n}{n} \le \frac{1}{n}$£ definitivamente. Quindi la seconda ipotesi del teorema è soddisfatta. I candidati carabinieri sono £$x_{n}=-\frac{1}{n}$£ e £$y_{n}=\frac{1}{n}$£. Ma qual è il limite di queste due successioni? Entrambe convergono a £$0$£. Quindi anche la prima ipotesi è soddisfatta! Bene allora grazie al teorema abbiamo dimostrato che £$z_{n}=\frac{\text{sen }n}{n}$£ converge a £$0$£.

I teoremi del confronto sono molto utili (come abbiamo visto) per calcolare i limiti di successioni che di primo impatto non sono immediati.

Quello che però dobbiamo fare è “trovare i due carabinieri”, cioè trovare la successione definitivamente maggiore e l'altra definitivamente minore a quella data.

Dobbiamo quindi imparare a “maggiorare” e “minorare” la successione che stiamo studiando. Si dice che stiamo “maggiorando” una successione quando ne troviamo una definitivamente “più grande”, mentre stiamo “minorando” una successione se ne troviamo una definitivamente “più piccola” che si comporta bene per i nostri scopi.

In generale, non esistono regole ben precise per “minorare” o “maggiorare” una successione. Occorre un po’ di inventiva e un po’ di allenamento, nonché la conoscenza di qualche disuguaglianza particolarmente nota che può sempre tornare utile.

Una maggiorazione e minorazione nota è quella riguardante le successioni £$\text{sen }n $£ e £$\text{cos }n$£ che sappiamo essere comprese tra £$-1$£ e £$1$£.
Un caso particolare utile è quello delle successioni positive. Infatti se £$z_{n} \ge 0 $£, allora un carabiniere è la successione costante £$y_{n}=0$£. Non ci resta quindi che trovare l'altro carabiniere £$x_{n}$£ tale che £$z_{n}\le x_{n}$£ e sperare che £$x_{n}\to 0$£ così da essere sicuri che anche £$z_{n}\to 0$£.

ESEMPIO: troviamo il limite della successione £$z_{n}=\frac{n}{n^2 + 9}$£. Vediamo subito che £$z_{n} \ge 0 $£ quindi abbiamo già il carabiniere £$y_{n}=0$£. Proviamo ora a trovare un'altra successione che sia maggiore o uguale a £$z_{n}$£ e tale che tenda a £$0$£ (che è il limite dell'altra successione £$y_{n}$£).

Dobbiamo maggiorare il termine £$\frac{n}{n^2+9}$£. Il denominatore è una somma di quadrati. Allora possiamo dire che £$n^2+9\ge 6n$£ perché con qualche conto troviamo che £$(n-3)^2\ge 0 \to n^2+9-6n\ge 0 $£ £$ \to n^2+9 \ge 6n$£. Possiamo concludere che da £$n^2+9\ge 6n$£ segue £$\frac{1}{n^2+9}\le \frac{1}{6n}$£.

Siamo quindi riusciti a maggiorare il denominatore. Moltiplichiamo adesso per il numeratore e abbiamo:

£$z_{n}=\frac{n}{n^2+9} \le \frac{n}{6n} = \frac{1}{6}$£

Ma la successione £$x_{n}=\frac{1}{6}$£, nonostante sia maggiore o uguale a £$z_{n}$£, è una successione costante che non tende a £$0$£. Quindi non possiamo dire nulla sul limite della successione £$z_{n}$£ se non che il limite è compreso tra £$0$£ e £$\frac{1}{6}$£.

Dobbiamo fare una maggiorazione diversa. Vediamo che vale £$n^2+9 \ge n^2 $£ quindi £$\frac{1}{n^2+9} \le \frac{1}{n^2}$£. Ora moltiplichiamo per il numeratore e abbiamo:

£$z_{n}=\frac{n}{n^2+9} \le \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$£

Questa successione £$x_{n}=\frac{1}{n}$£ tende a £$0$£ per £$n\to +\infty$£. Quindi abbiamo trovato anche l'altro carabiniere! Abbiamo quindi dimostrato che la successione £$z_{n}$£ ha limite £$0$£.