Prerequisiti per Teorema di permanenza del segno
I prerequisiti per imparare il teorema di permanenza del segno sono:
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Teorema di permanenza del segno
In questa lezione ci doteremo di armi sempre più potenti per il calcolo dei limiti di successioni a valori reali: si tratta del teorema di permanenza del segno e il teorema di regolarità delle successioni monotòne.
Appunti
Una volta acquisito il concetto di limite di una successione, potrai passare a studiare alcuni tra i teoremi più classici che riguardano il calcolo di tale limite.
Se hai già lavorato sui limiti di funzioni questi teoremi non ti suoneranno nuovi e di fatto saranno un adattamento alle successioni di quello che hai già visto per le funzioni.
In caso contrario ti consigliamo di apprendere attentamente i teoremi nella loro versione per le successioni, in modo da essere facilitato quando passerai alle funzioni. Questi teoremi (permanenza del segno, confronto, regolarità delle funzioni monotòne) ci permettono di fare considerazioni più precise sul limite di una successione a partire da alcune sue caratteristiche e ci consentono di evitare la laboriosa procedura di verifica del limite che abbiamo imparato nella lezione precedente.
Contenuti di questa lezione su: Teorema di permanenza del segno
Proprietà che valgono "definitivamente"
Nel calcolo dei limiti delle successioni ci interessa sapere come si comportano i termini di una successione quando £$n$£ è abbastanza grande.
Infatti, ai fini del calcolo dei limiti, i valori dei primi termini di una successione sono di scarso interesse. Ecco perché useremo spesso il concetto di “proprietà valida definitivamente”.
Ma cosa significa? Una successione a valori reali £$ x_n$£ soddisfa definitivamente una proprietà se questa proprietà vale per tutti i termini della successione a partire da un certo £$N$£.
ESEMPI:
- la successione dei numeri di Fibonacci soddisfa definitivamente la proprietà di assumere valori superiori a £$100$£;
- la successione £$a_{n}=\frac{1}{n}$£ è definitivamente minore di £$\frac{1}{200}$£. Infatti basta risolvere la disequazione £$\frac{1}{n}<\frac{1}{200} \to n > 200 $£. Allora possiamo dire che £$\forall n > 200$£ abbiamo che £$a_{n} < \frac{1}{200} $£.
Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.
Teorema di permanenza del segno
Il primo teorema sui limiti di successioni ci permette di controllare di aver fatto bene i conti. Ci dà una condizione di coerenza sul segno della successione e del limite e infatti si chiama teorema di permanenza del segno.
Teorema (di permanenza del segno)
Sia £$ x_n $£ una successione a valori reali convergente a £$\ell$£, allora
- se £$\ell>0$£ allora £$x_n>0$£ definitivamente;
- se £$\ell <0$£ allora £$x_n<0$£ definitivamente;
- se £$x_n\ge 0$£ definitivamente allora £$\ell \ge 0$£;
- se £$x_n\le 0$£ definitivamente allora £$\ell \le 0$£.
Sostanzialmente questo teorema, a partire da ipotesi piuttosto forti sulla natura della successione, esplicita i legami che sussistono tra il segno assunto dai termini di una successione e il segno del limite della stessa.
Dal punto di vista “logico” è interessante notare come l’affermazione 3) sia l’enunciato contronominale della 2) e come l’affermazione 4) sia l’enunciato contronominale della 1). Infatti se fosse falsa la 3), ovvero se £$\ell <0$£, allora per la 2) varrebbe £$x_n<0$£ definitivamente, il che contraddice l’ipotesi della 3)!
Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.
Limiti delle successioni monotòne
Le successioni monotòne sono particolarmente utili perché presentano molte regolarità nel calcolo dei limiti! Vale infatti il seguente teorema.
Teorema (regolarità delle successioni monotòne). Sia £$x_n$£ una successione monotòna a valori reali, allora £$x_n$£ è regolare (cioè converge o diverge a £$ \pm \infty$£).
Se una successione è monotòna, è obbligata a convergere o a divergere: non potrà mai essere oscillante!
A dire il vero non occorre che la successione in questione sia interamente monotòna per applicare il teorema: basta che essa sia definitivamente monotòna!
Insomma sapere che una successione è monotòna (crescente o decrescente) è un ottimo vantaggio, tanto più che se £$ x_n$£ è (strettamente) monotòna crescente allora £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=\sup x_n$£ Se £$ x_n$£ è (strettamente) monotòna decrescente allora £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=\inf x_n $£ Ricordiamo che il £$\sup$£ è l’estremo superiore e che l’£$\inf$£ è l’estremo inferiore.
ESEMPIO: presa la successione £$x_n=4-\frac{1}{n^{2}}$£ e verificato che essa è monotòna crescente. Basta accorgersi che £$4$£ è il £$\sup$£ di tale successione per poter scrivere che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 4-\frac{1}{n^{2}}=4$£
Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.
