Teoremi per il calcolo dei limiti di successioni

Vediamo alcuni metodi per calcolare i limiti di successioni. Il teorema che segue ci dà informazioni sul limite di una somma algebrica e di un prodotto di due successioni.
Il rapporto di due successioni può a sua volta essere visto come un prodotto di successioni e quindi rientra nella nostra casistica! Infatti se avessimo una successione del tipo £$x_n=\frac{a_n}{b_n}$£, allora definendo £$c_n=\frac{1}{b_n}$£ potremmo facilmente scrivere £$x_n=a_n \cdot c_n$£ e ricondurci alla situazione contemplata dal teorema.

Teorema (calcolo dei limiti di successioni). Siano £$ a_n$£ e £$ b_n$£ due successioni a valori reali tali che £$a_n\rightarrow \alpha$£ e che £$b_n\rightarrow\beta$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, dove £$\alpha,\, \beta \in \mathbb{R}$£, allora:

• le successioni £$ a_n+b_n$£ e £$ a_n\cdot b_n$£ sono regolari;
• £$a_n+b_n\rightarrow \alpha + \beta$£ e £$a_n\cdot b_n\rightarrow \alpha \cdot \beta$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

Cosa succede se £$\alpha$£ o £$\beta$£ (o entrambi) sono limiti infiniti? Beh il teorema continua a valere nei casi riportati nella seguente casistica di possibili “operazioni” tra un numero reale £$c\in\mathbb{R}$£ e un valore infinito, oppure tra due valori infiniti.
Ricordati che questa “aritmetica” in cui compaiono i simboli di £$\pm\infty$£ vale esclusivamente per il calcolo dei limiti! Abbiamo che:

• £$c+(\pm\infty)=\pm\infty$£
• £$(\pm\infty)+(\pm\infty)= \pm\infty$£
• £$(\pm\infty)\cdot (\pm\infty)= +\infty$£
• £$(\pm\infty)\cdot (\mp\infty)= -\infty$£
• £$c\cdot(\pm\infty)=\pm\infty$£ se £$c>0$£
• £$c\cdot(\pm\infty)=\mp\infty$£ se £$c<0$£

Come si vede ci sono alcuni casi che non sono contemplati nell’elenco che compare qui sopra. Si tratta delle cosiddette forme di indecisione, ovvero quei casi in cui il comportamento della successione £$ a_n+b_n $£ o della successione £$ a_n\cdot b_n $£ non può essere predefinito a priori dal teorema!
Si tratta dei casi £$[+\infty -\infty ]$£ e £$[0\cdot (\pm\infty) ]$£. Le forme di indecisione verranno affrontate in maniera più sistematica nel prossimo post di questa lezione.

Prima di procedere, infatti, vediamo un altro teorema utilissimo per il calcolo di limiti di successioni.

Teorema (successioni e funzioni elementari). Consideriamo una funzione £$f:D\rightarrow\mathbb{R}$£ con £$D\subseteq\mathbb{R}$£ tra le funzioni elementari che conosciamo (funzioni goniometriche e loro inverse, funzione logaritmica, funzione esponenziale… insomma tutte le funzioni base). Consideriamo una successione £$ x_n $£ a valori nel dominio £$D$£ della funzione £$f$£, ossia imponiamo che debba valere £$x_n\in D\:\forall n\in\mathbb{N}$£. Se vale che £$x_n\rightarrow p$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, allora la successione £$y_n=f(x_n)\rightarrow f(p)$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

Possiamo descrivere questo enunciato dicendo che il limite si comporta bene rispetto alla composizione di funzioni.

ESEMPIO: consideriamo come funzione £$f$£ la funzione coseno e come successione £$x_n=\frac{1}{n}$£. Evidentemente £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=0$£. Il teorema appena visto ci assicura automaticamente che £$y_n=f(x_n)=\text{cos }{\left(\frac{1}{n}\right)}$£ tende al valore £$\text{cos }0=1$£ per £$n\rightarrow +\infty$£. Proviamo invece a prendere £$f$£ la funzione esponenziale e la successione £$x_n=-\sqrt{n}$£. In questo caso avremmo che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}x_n=-\infty$£ e, conseguentemente, £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f(x_n)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}e^{-\sqrt{n}}=0$£, perché la funzione esponenziale con base £$e$£ tende a £$0$£ se l’esponente tende a £$-\infty$£.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Molti libri di testo introducono altre forme di indecisione oltre a quelle già affrontate. Infatti non ci siamo ancora chiesti cosa succede quando ci troviamo di fronte ad una successione del tipo:

$$x_n={a_n}^{b_n}$$

dove £$a_n$£ e £$b_n$£ sono a loro volta delle successioni. Studiando una successione £$x_n$£ di questo tipo, potremmo ritrovarci di fronte ad altre tre forme di indecisione: £$[1^{\infty}]$£, £$[0^{0}]$£, £$[\infty^{0}]$£.

Inoltre ci occorrerebbe un altro teorema che spieghi come comportarci, almeno nei casi “buoni”, con successioni di questo tipo.
Adesso proveremo a trovare un modo per ricondurre lo studio della successione £$x_n={a_n}^{b_n}$£ a quanto già sappiamo su calcolo dei limiti e forme di indecisione.

Prima di procedere facciamo alcune premesse. Occorre infatti ricordarci cos’è e come è definito il numero £$\mathit{e}$£, detto anche numero di Nepero. Probabilmente saprai che si tratta di un numero particolarmente famoso in matematica, che viene spesso (anzi quasi sempre!) utilizzato come base privilegiata per le funzioni esponenziali e logaritmiche (in tal caso si parla di “logaritmo naturale”). Si tratta di un numero irrazionale e il suo valore si aggira all’incirca attorno a £$2,718281\dots$£.

Quello che forse puoi non ricordarti è il fatto che questo numero è definito come il limite di una particolare successione: £$\mathit{e}= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mathit{e}_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$£
Osservando questa successione ti sarai probabilmente accorto che essa si presenta esattamente nella forma £$\mathit{e}_n={a_n}^{b_n}$£, e che inoltre £$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\rightarrow 1$£ e £$b_n=n\rightarrow +\infty$£. Ovvero ci troveremmo di fronte ad una di quelle forme di indecisione (in particolare £$[1^{\infty}]$£) che ci siamo proposti di evitare!
Ebbene, conoscere (a priori e per pura fiducia nei matematici!) il valore limite della successione £$\mathit{e}_n$£, ci permetterà di non dover affrontare in seguito altre forme di indecisione del tipo £$[1^{\infty}]$£, £$[0^{0}]$£, £$[\infty^{0}]$£.

In termini concreti cosa possiamo fare? Presa una successione del tipo £$x_n={a_n}^{b_n}$£, la riscriviamo come £$x_n=\mathit{e}^{\ln\left({{a_n}^{b_n}}\right)}$£. Ricordiamo quindi la proprietà dei logaritmi £$\ln{\alpha^{\beta}}=\beta\ln{\alpha}$£ e riscriviamo la successione £$x_n$£ come £$x_n=\mathit{e}^{b_n\ln{a_n}}$£.

A questo punto sfruttiamo il teorema che lega successioni e funzioni elementari: £$a_n\rightarrow p\Rightarrow\ln{a_n}\rightarrow\ln{p}$£. Dovremo poi vedere come si comporta l’esponente, cioè calcolare £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}b_n\ln{a_n}=q$£ e, infine avremo che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mathit{e}^{b_n\ln{a_n}}=\mathit{e}^q$£.
Va da sé il fatto che se £$p$£ o £$q$£ sono limiti infiniti (oppure £$p=0$£) la strategia risulta esattamente la stessa. Insomma avremo che:

• £$p=+\infty\Rightarrow\ln{a_n}\rightarrow +\infty$£
• £$p = 0 \Rightarrow\ln{a_n}\rightarrow -\infty$£
• £$q=+\infty\Rightarrow x_n\rightarrow +\infty$£
• £$q=-\infty\Rightarrow x_n\rightarrow 0$£

In ogni caso utilizzando questo procedimento rischiamo di incappare in una forma di indecisione solo e soltanto se si presenta nel prodotto £$b_n\cdot\ln{a_n}$£, ovvero se è la forma £$[0\cdot\infty]$£. Abbiamo quindi ottenuto esattamente quanto volevamo! Proviamo a chiarire tutto il procedimento con un esempio.

ESEMPIO: consideriamo la successione £$x_n=\left(\mathit{e}^{n}\right)^{\frac{3}{n^{2}}}$£. Ci troviamo proprio in uno dei casi in cui si incorrerebbe nella forma di indecisione £$[\infty^{0}]$£. Giusto per evitare fraintendimenti ti ricordiamo che il procedimento che abbiamo appena visto si adatterebbe benissimo anche ai casi in cui non vi è forma di indecisione. Riscriviamo perciò la nostra successione come abbiamo imparato: £$x_n=\mathit{e}^{\frac{3}{n^{2}}\ln{\mathit{e}^{n}}}=\mathit{e}^{\frac{3n}{n^{2}}}=\mathit{e}^{\frac{3}{n}}$£

La forma di indecisione ricompare all’esponente nella forma £$[0\cdot\infty]$£ nel prodotto £$\frac{3}{n^{2}}\ln{\mathit{e}^{n}}$£. Poi si sfrutta il fatto che £$\ln{\mathit{e}^{n}}=n$£ e il gioco è fatto!

A questo punto, siccome l’esponente £${\frac{3}{n}}$£ tende a £$0$£ per £$n\rightarrow +\infty$£, allora avremo che £$x_n=\mathit{e}^{\frac{3}{n}}\rightarrow 1$£ per £$n\rightarrow +\infty$£.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.