Teoremi sui limiti di successioni

In questa lezione ci doteremo di armi sempre più potenti per il calcolo dei limiti di successioni a valori reali: si tratta del teorema di permanenza del segno, il teorema del confronto e il teorema di regolarità delle successioni monotòne. Per sfruttare al meglio i teoremi del confronto impareremo inoltre cosa significa minorare e maggiorare!

2019-04-03 08:21:54

Una volta acquisito il concetto di limite di una successione, potrai passare a studiare alcuni tra i teoremi più classici che riguardano il calcolo di tale limite.
Se hai già lavorato sui limiti di funzioni questi teoremi non ti suoneranno nuovi e di fatto saranno un adattamento alle successioni di quello che hai già visto per le funzioni.
In caso contrario ti consigliamo di apprendere attentamente i teoremi nella loro versione per le successioni, in modo da essere facilitato quando passerai alle funzioni. Questi teoremi (permanenza del segno, confronto, regolarità delle funzioni monotòne) ci permettono di fare considerazioni più precise sul limite di una successione a partire da alcune sue caratteristiche e ci consentono di evitare la laboriosa procedura di verifica del limite che abbiamo imparato nella lezione precedente.
Per sfruttare al meglio tali enunciati (e in particolare i teoremi del confronto) occorrerà diventare assai abili nell’utilizzo delle disuguaglianze: troverai alcuni utili consigli e trucchi per riportarti a situazioni semplici da trattare.

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Proprietà che valgono "definitivamente"

Nel calcolo dei limiti delle successioni ci interessa sapere come si comportano i termini di una successione quando £$n$£ è abbastanza grande.
Infatti, ai fini del calcolo dei limiti, i valori dei primi termini di una successione sono di scarso interesse. Ecco perché useremo spesso il concetto di “proprietà valida definitivamente”.

Ma cosa significa? Una successione a valori reali £$ x_n$£ soddisfa definitivamente una proprietà se questa proprietà vale per tutti i termini della successione a partire da un certo £$N$£.

ESEMPI:

  1. la successione dei numeri di Fibonacci soddisfa definitivamente la proprietà di assumere valori superiori a £$100$£;
  2. la successione £$a_{n}=\frac{1}{n}$£ è definitivamente minore di £$\frac{1}{200}$£. Infatti basta risolvere la disequazione £$\frac{1}{n}<\frac{1}{200} \to n > 200 $£. Allora possiamo dire che £$\forall n > 200$£ abbiamo che £$a_{n} < \frac{1}{200} $£.

Teorema di permanenza del segno

Il primo teorema sui limiti di successioni ci permette di controllare di aver fatto bene i conti. Ci dà una condizione di coerenza sul segno della successione e del limite e infatti si chiama teorema di permanenza del segno.

Teorema (di permanenza del segno)

Sia £$ x_n $£ una successione a valori reali convergente a £$\ell$£, allora

  1. se £$\ell>0$£ allora £$x_n>0$£ definitivamente;
  2. se £$\ell <0$£ allora £$x_n<0$£ definitivamente;
  3. se £$x_n\ge 0$£ definitivamente allora £$\ell \ge 0$£;
  4. se £$x_n\le 0$£ definitivamente allora £$\ell \le 0$£.

Sostanzialmente questo teorema, a partire da ipotesi piuttosto forti sulla natura della successione, esplicita i legami che sussistono tra il segno assunto dai termini di una successione e il segno del limite della stessa.

Dal punto di vista “logico” è interessante notare come l’affermazione 3) sia l’enunciato contronominale della 2) e come l’affermazione 4) sia l’enunciato contronominale della 1). Infatti se fosse falsa la 3), ovvero se £$\ell <0$£, allora per la 2) varrebbe £$x_n<0$£ definitivamente, il che contraddice l’ipotesi della 3)!

Teorema del confronto o dei carabinieri

Il teorema dei carabinieri è l'ancora di salvezza per tutti quelli che devono calcolare il limite di una successione. Infatti ci permette di non calcolare il limite di una successione che ha un'espressione "brutta" ma di ricondurci al calcolo del limite di una successione "bella", semplificando così le cose.

Teorema del confronto (“dei due carabinieri”)

Siano £$ x_n $£, £$ y_n $£, £$ z_n $£ tre successioni a valori reali tali che:

  1. £$x_n$£ e £$y_n$£ convergono entrambe ad un valore £$\ell \in\mathbb{R}$£ (finito!)
  2. £$x_n\le z_n \le y_n $£ definitivamente

Allora anche £$z_n$£ converge a £$\ell $£, ovvero £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} z_n=\ell$£.

Quindi il teorema ci dice che se abbiamo di fronte una successione £$z_n$£ che non ci piace abbiamo la possibilità di calcolarne il limite attraverso altre due successioni delle quali conosciamo il comportamento.
Perché viene chiamato “teorema dei due carabinieri”? Le successioni £$x_n$£ e £$y_n$£ si comportano esattamente come due membri delle forze dell’ordine che tengono stretta nella loro morsa la successione £$z_n$£ (il delinquente). Se i due carabinieri £$x_{n}$£ e £$y_{n}$£ vanno in caserma (cioè convergono in caserma), allora anche il delinquente £$z_{n}$£ andrà in caserma con loro.

Vediamo l'utilità di questo teorema con qualche esempio.

ESEMPIO: qual è il limite della successione £$z_n=\frac{\text{sen } n}{n}$£? Vediamo che c'è la funzione seno che sappiamo essere portatrice di limiti oscillanti.

Sappiamo però che £$-1 \le \text{sen } n \le 1$£ per ogni £$n$£ quindi sappiamo che £$- \frac{1}{n} \le \frac{\text{sen }n}{n} \le \frac{1}{n}$£ definitivamente. Quindi la seconda ipotesi del teorema è soddisfatta. I candidati carabinieri sono £$x_{n}=-\frac{1}{n}$£ e £$y_{n}=\frac{1}{n}$£. Ma qual è il limite di queste due successioni? Entrambe convergono a £$0$£. Quindi anche la prima ipotesi è soddisfatta! Bene allora grazie al teorema abbiamo dimostrato che £$z_{n}=\frac{\text{sen }n}{n}$£ converge a £$0$£.

Ovviamente c'è anche la versione per le successioni divergenti. Ecco l'enunciato del teorema.

Teorema del confronto (del carabiniere)

Siano £$ x_n$£, £$ y_n$£ due successioni a valori reali tali che £$x_n\le y_n$£ definitivamente. Allora:

  1. £$x_n\rightarrow +\infty\:\Rightarrow\:y_n\rightarrow +\infty$£
  2. £$y_n\rightarrow -\infty\:\Rightarrow\:x_n\rightarrow -\infty$£

Insomma se la successione “minore” diverge a più infinito anche quella maggiore è costretta a farlo. Se invece la successione “maggiore” diverge a meno infinito anche quella minore vi è naturalmente trascinata. Il tutto accade proprio perché abbiamo fatto l’ipotesi che £$x_n\le y_n$£ definitivamente!

ESEMPIO: consideriamo la successione £$y_n=n^{3}-n^{2}$£. Tale successione è la differenza di due successioni £$a_n=n^{3}$£ e £$b_n=n^{2}$£ che sono ovviamente entrambe divergenti a più infinito. Tuttavia non abbiamo idea di cosa succeda quando sottraiamo da una cosa arbitrariamente grande un’altra cosa arbitrariamente grande. Intuitivamente possiamo pensare che la potenza 3 (il cubo) predomini sulla potenza 2 (il quadrato) e che quindi la successione £$y_n$£ tenda a più infinito.

La nostra intuizione è giusta ma per mostrare rigorosamente che abbiamo ragione ci serviamo del teorema del carabiniere. Riscriviamo la nostra successione £$y_n$£ facendo un semplice raccoglimento:

£$y_n=n^{3} - n^{2}= n^{3} \left( 1-\frac{1}{n}\right)$£

Ora, siccome vale che £$ 1-\frac{1}{n} \ge \frac{1}{2}$£ se £$n\ge 2$£ (ovvero definitivamente!!), allora evidentemente vale che:

£$y_n=n^{3} - n^{2} =n^{3}\left(1-\frac{1}{n}\right)\ge \frac{n^{3}}{2} = x_n$£

Sappiamo bene che £$x_n=\frac{n^{3}}{2}\rightarrow +\infty$£. Ma £$x_n\le y_n$£ definitivamente come abbiamo visto. Quindi necessariamente £$y_n\rightarrow +\infty$£ per il teorema del carabiniere.

Come maggiorare o minorare i termini di una successione

I teoremi del confronto sono molto utili (come abbiamo visto) per calcolare i limiti di successioni che di primo impatto non sono immediati.

Quello che però dobbiamo fare è “trovare i due carabinieri”, cioè trovare la successione definitivamente maggiore e l'altra definitivamente minore a quella data.

Dobbiamo quindi imparare a “maggiorare” e “minorare” la successione che stiamo studiando. Si dice che stiamo “maggiorando” una successione quando ne troviamo una definitivamente “più grande”, mentre stiamo “minorando” una successione se ne troviamo una definitivamente “più piccola” che si comporta bene per i nostri scopi.

In generale, non esistono regole ben precise per “minorare” o “maggiorare” una successione. Occorre un po’ di inventiva e un po’ di allenamento, nonché la conoscenza di qualche disuguaglianza particolarmente nota che può sempre tornare utile.

Una maggiorazione e minorazione nota è quella riguardante le successioni £$\text{sen }n $£ e £$\text{cos }n$£ che sappiamo essere comprese tra £$-1$£ e £$1$£.
Un caso particolare utile è quello delle successioni positive. Infatti se £$z_{n} \ge 0 $£, allora un carabiniere è la successione costante £$y_{n}=0$£. Non ci resta quindi che trovare l'altro carabiniere £$x_{n}$£ tale che £$z_{n}\le x_{n}$£ e sperare che £$x_{n}\to 0$£ così da essere sicuri che anche £$z_{n}\to 0$£.

ESEMPIO: troviamo il limite della successione £$z_{n}=\frac{n}{n^2 + 9}$£. Vediamo subito che £$z_{n} \ge 0 $£ quindi abbiamo già il carabiniere £$y_{n}=0$£. Proviamo ora a trovare un'altra successione che sia maggiore o uguale a £$z_{n}$£ e tale che tenda a £$0$£ (che è il limite dell'altra successione £$y_{n}$£).

Dobbiamo maggiorare il termine £$\frac{n}{n^2+9}$£. Il denominatore è una somma di quadrati. Allora possiamo dire che £$n^2+9\ge 6n$£ perché con qualche conto troviamo che £$(n-3)^2\ge 0 \to n^2+9-6n\ge 0 $£ £$ \to n^2+9 \ge 6n$£. Possiamo concludere che da £$n^2+9\ge 6n$£ segue £$\frac{1}{n^2+9}\le \frac{1}{6n}$£.

Siamo quindi riusciti a maggiorare il denominatore. Moltiplichiamo adesso per il numeratore e abbiamo:

£$z_{n}=\frac{n}{n^2+9} \le \frac{n}{6n} = \frac{1}{6}$£

Ma la successione £$x_{n}=\frac{1}{6}$£, nonostante sia maggiore o uguale a £$z_{n}$£, è una successione costante che non tende a £$0$£. Quindi non possiamo dire nulla sul limite della successione £$z_{n}$£ se non che il limite è compreso tra £$0$£ e £$\frac{1}{6}$£.

Dobbiamo fare una maggiorazione diversa. Vediamo che vale £$n^2+9 \ge n^2 $£ quindi £$\frac{1}{n^2+9} \le \frac{1}{n^2}$£. Ora moltiplichiamo per il numeratore e abbiamo:

£$z_{n}=\frac{n}{n^2+9} \le \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$£

Questa successione £$x_{n}=\frac{1}{n}$£ tende a £$0$£ per £$n\to +\infty$£. Quindi abbiamo trovato anche l'altro carabiniere! Abbiamo quindi dimostrato che la successione £$z_{n}$£ ha limite £$0$£.

Limiti delle successioni monotòne

Le successioni monotòne sono particolarmente utili perché presentano molte regolarità nel calcolo dei limiti! Vale infatti il seguente teorema.

Teorema (regolarità delle successioni monotòne). Sia £$x_n$£ una successione monotòna a valori reali, allora £$x_n$£ è regolare (cioè converge o diverge a £$ \pm \infty$£).

Se una successione è monotòna, è obbligata a convergere o a divergere: non potrà mai essere oscillante!
A dire il vero non occorre che la successione in questione sia interamente monotòna per applicare il teorema: basta che essa sia definitivamente monotòna!

Insomma sapere che una successione è monotòna (crescente o decrescente) è un ottimo vantaggio, tanto più che se £$ x_n$£ è (strettamente) monotòna crescente allora £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=\sup x_n$£ Se £$ x_n$£ è (strettamente) monotòna decrescente allora £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=\inf x_n $£ Ricordiamo che il £$\sup$£ è l’estremo superiore e che l’£$\inf$£ è l’estremo inferiore

ESEMPIO: presa la successione £$x_n=4-\frac{1}{n^{2}}$£ e verificato che essa è monotòna crescente. Basta accorgersi che £$4$£ è il £$\sup$£ di tale successione per poter scrivere che £$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 4-\frac{1}{n^{2}}=4$£

Esercizi di Teoremi sui limiti di successioni - 1

Esercizi di Teoremi sui limiti di successioni - 2

Esercizi di Teoremi sui limiti di successioni - 3

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